二次函数应用题分类与解析

中小学课外辅导专家

二次函数应用题分类解析

二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元） 0 y （1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关

1 1 1.5 2 1.8 … … 系式为

y?123x?x?1105

2（2）由题意得S=10y(3-2)-x??x?5x?10

565S??x2?5x?10??(x?)2?24及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在（3）由（2）

10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，

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日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x（2）将（1）中所求出的二次函数配方成

的取值范围；

b24ac?b2y?a(x?)?2a4a的形式，写出顶点坐标；

坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元最多，是多少？

在图2所示的时日均获得

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得

y?(x?30)[60?2(70?x)]?500??2x2?260x?6500（30≤x≤70）。

22y??2(x?130x)?6500??2(x?65)?1950。顶点坐标为（65，1950），草图略，（2）

当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的周长能否等于8dm？

析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN

所在的直线抛物线顶点使矩形顶点矩形铁皮的

为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，

24）。用待定系数法求得抛物线的解析式为y??x?4x。

2l?2AB?2AD?2y?2(2x?4)?2(?x?4x)?2(2设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是

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?2AD?2y?2(2x?4)?2(?x2?4x)?2(2x?4)??2x2?12x?8。且x的取值范围是0

22若l=8，则?2x?12x?8?8，即x?6x?8?0。解得x1?2，x2?4。

而0

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5. (1)求y关于x的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围

在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3), ∴?5?70k?b,解得??k????3?90k?b.1∴y=1x+12.…………………………………………3分 ,?10?10?b?12.?的函数关系额)当销售单

(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(?1x+12)(x-10)-10(?1x+12)-42.5

101022

=-0.1x+17x-642.5=?1(x-85)+80.

10当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w=57.5,得-0.1x+17x-642.5=57.2. 整理,得x-170x+7000=0. 解得x1=70,x2=100.

由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元元.………………………………10分

2

2

到100元之间.又

因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70

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四：利润最大(小)值问题 知识要点：

b24ac?b2)?二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)化成顶点式y?a(x?，如果自变量的取2a4a2值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

4ac?b2b即当a?0时，函数有最小值，并且当x??，y最小值?；

4a2a4ac?b2b当a?0时，函数有最大值，并且当x??，y最大值?．

4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，如果顶点在自变量的取值范围x1?x?x2内，则当x??b，2a4ac?b2y最值?，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围

4a内y随x的增大而增大，则当x?x2时，

2y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；

2如果在此范围内y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c．

商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。 ? ? ? ? ? ? 单价商品利润=商品定价－商品售价1 △（价格变动量）=商品定价－商品售价2（或者直接等于商品调价）； 销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格； 商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率； 总利润（W）=单价商品利润×总销售量－其他成本 总利润（W）?（商品定价?商品售价1）?[商品销售量1???

销售量变化]?其他成本单位价格变动