黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试理科数学试题含解析

则

（Ⅰ）

（Ⅱ）设平面

，

则设直线

与平面

的法向量为

所成角为

直线与平面所成角的正弦值为

中，侧面

垂直，底面

是矩形，

20. 如图，在四棱锥是

的中点，

与平面

是正三角形且与底面

.

所成的角为

（Ⅰ）求二面角（Ⅱ）当

的大小；

的距离为2？

时，点D到平面PCE的距离为.．

为多长时，点到平面

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）当

【解析】（1）设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正

半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，连接OC，则

=

，

故

，

则

得

，

），

,

，则

为PC与面AC所成的角，

设AD=2a,则，。

，设平面PCE的一个法向量为

又平面DCE的一个法向量

故二面角P-CE-D为………（8分） （2）D(a,0,0),则d=2,则

,则点D到平面PCE的距离

，AD=………（12分）

，短轴的两个端点分别为

.

21. 已知椭圆的两个焦点分别为（Ⅰ）若

为等边三角形，求椭圆的方程；

两点，且

，求直线的

（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，

则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把

转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求

试题解析：（1）为等边三角形，则……2

椭圆的方程为：； ……3

， ……5

，不符合题意； ……6

（2）容易求得椭圆的方程为当直线的斜率不存在时，其方程为

当直线的斜率存在时，设直线的方程为由

得

，设

，

，

则， ……8

∵

∴即

，

，

……10

解得，即，

或

. ……12

故直线的方程为

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系． 22. 已知椭圆 的圆与直线

的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径

相切.、是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，作连接

并延长交直线于点，为线段

轴于点，延长

与以

到点使得

，

的中点，判断直线为直径的圆的位置关

系，并证明你的结论. 【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）相切．

(2) 设

，依

【解析】试题分析：(1)根据点到直线距离公式得 ,再根据离心率得

次得Q,M,N坐标，即得QN方程，再利用点到直线距离公式得圆心到直线距离，最后根据圆心到直线距离与半径关系确定直线试题解析：（Ⅰ）由题意：到直线

椭圆C的标准方程为（Ⅱ）设

，则

与以

为直径的圆的位置关系

的距离为，则

直线的方程为

与联立得：

则直线的方程为

即

方程可化为

到直线故直线

的距离为

与以AB为直径的圆O相切.

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．