指数对数幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1). 【要点梳理】

要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质

为避免讨论，我们约定a>0，n，m?N*，且3．运算法则

当a＞0,b＞0时有： （1）a?a?a（2）ammnm?nm为既约分数，分数指数幂可如下定义： n??；

n?amn；

amm?n（3）n?a?m?n，a?0?；

ammm（4）?ab??ab.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4(?4)2?(4?4)2；

(3)幂指数不能随便约分.如(?4)?(?4).

2412要点二、根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=ny.

n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n0?0；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为?ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n0?0. 2．两个等式

（1）当n?1且n?N时，

*??nan?a；

n（2）a??n?a,(n为奇数)?|a|(n为偶数)

要点诠释：

①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．

②指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数．

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式：

a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），

（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.

指数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2，y?3?1xx1x等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x?xx11,x?,???时，在实数范围内函数值不存在． 24②如果a?1，则y?1?1是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．

要点二、指数函数的图象： y=ax ---- 图象 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。

01时图象 ?1?x（2）指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。

?a?要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 ① y?ax ②y?bx ③y?cx ④y?dx

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1） 又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cx （底大幂大） x∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx（底小幂小）

x要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法： (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

AA?1，或?1即可． BB对数及对数运算

【要点梳理】

要点一、对数概念 1.对数的概念

如果ab?N?a?0，且a?1?，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释：

2.对数logaN?a?0，且a?1?具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即N?0； (2)1的对数为0，即loga1?0； (3)底的对数等于1，即logaa?1. 3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN.

以e（e是一个无理数，e?2.7182???）为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN. 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0

且a1， N>0， bR.

要点二、对数的运算法则 已知logaM，logaN?a?0且a?1，M、N?0?

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误1：loga(MN)=logaMlogaN， 错误2： (M·N)=logaM·logaN， 要点三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) logaM?loganMn(n?R)

nbn令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即(a)?M， 则b?log所以得出结论:logaM?log(2) logaM?ananMn

Mn.

logcMb(c?0,c?1)，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 logca?logcM(c?0,c?1)

logca即b?logca?logcM， 即b?logcMlogcM(c?0,c?1) ，即logaM?logcalogca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

logab?1(a?0,a?1,b?0,b?1).

logba对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是?0,???，值域为R． 2．判断一个函数是对数函数是形如y?logax(a?0,且a?1)的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x．

要点诠释：

（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像y?loga(x?1),y?2logax,y?logax?3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象 图象 要点诠释： （1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.

（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。

0＜a＜1 a＞1 要点四、反函数

1．反函数的定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是B，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若对于y在B中的任何一个值，通过x= g(y) （这时候x= g(y)里面的y是自变量，x是因变量），x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(x∈B)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域

由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1 (x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1 (x)的定义域．

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如右