北京海淀区高三年级第一学期期中练习（理科数学）

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----------------------2分

n?2时，S2?tS1?2 ，得 a1?a2?ta1?2 因为a1?1，得 a2?ta1?1

故 an?tan?1?1（*） (n?2) ----------------------3分

因为t?2，所以a2?2a1?1?3，a3?2a2?1?7 ----------------------4分

（Ⅱ）由（*）可知an?1?tan?1?2（n?2），若{an?1}是等比数列，

则a1?1,a2?1,a3?1成等比数列

即(a2?1)2?(a1?1)(a3?1) ----------------------6分

因为a1?1?2,a2?1?t?2,a3?1?t2?t?2

所以(t?2)2?2(t2?t?2)

即t2?2t?0

所以t?0或t?2. 经检验，符合题意.

----------------------9分 （Ⅲ）由（*）可知

an?tan?1?1?t(tan?2?1)?1?t2an?2?t?1???tn?1?tn?2???t?1（n?2）

----------------------11分

当t?1时，an?1?1???1?n ?????n个1此时，Sn?a1?a2???an?1?2???n?--------------------12分

1?tn当t?1时，an?

1?tn(n?1) 2

此时，Sn?a1?a2???an

1?t21?tn ?1????1?t1?t(1?t)?(1?t2)???(1?tn) ?1?t第 9 页 共 13 页

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t(1?tn)n?1?t ?1?ttn?1?(1?t)n?t ?2

(1?t)?n(n?1)?(t?1) 所以 S?2n??

?tn?1?(1?t)n?t ??(1?t)2(t?1)----------------------14分

解法二：（Ⅰ）因为 t?2及Sn?tSn?1?n，得Sn?2Sn?1?n 所以

(a1?a2)?2a1?2且

a1?1，解

----------------------2分

同理 (a1?a2?a3)?2(a1?a2)?3，解得 a3?7

----------------------4分

（Ⅱ）当n?3时，Sn?tSn?1?n，

得

Sn?1?tSn?2?n?1

----------------------5分

两式相减得：an?tan?1?1（**）

----------------------6分

即 an?1?tan?1?2

当t＝0时，an?1?2，显然{an?1}是等比数列

----------------------7分

当t?0时，令bn?an?1?tan?1?2，可得bn?tbn?1?2?t 因为 {an?1}是等比数列，所以{bn}为等比数列，

当n?2时，bn?1?b2n?1?bn恒成立，

----------------------8分

即 [tbb?(2?t)2n?(2?t)?]nt?bn 恒成立，

化简得 (t?2)t(?1bn)?(?22t)?恒成立，0

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得

a2?3，

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?(t?2)(t?1)?0 即?，解得t?2 2(2?t)?0? 综合上述，t?0或t?2

----------------------9分

（Ⅲ）当t?1时，由（**）得an?an?1?1

数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以 Sn?1?2???n?

--------------------10分

n(n?1) 2

当t?1时，由（**）得an?tan?1?1 设an?k?t(an?1?k)（k为常数） 整理得an?tan?1?(t?1)k 显然 k?

所以an?1 t?111?t(an?1?) t?1t?1

--------------------12分

11为首项，t为公比的等比数列 }是以1?t?1t?111n?1 所以an??(1?)t，

t?1t?1tn?11即 an? t?t?1t?1 即数列{an?t(1?tn)nt(tn?1)ntn?1?(1?t)n?tt?1 所以Sn? ????1?tt?1(1?t)21?t(1?t)2?n(n?1)??2 所以 Sn??n?1?t?(1?t)n?t?(1?t)2?(t?1) (t?1)

----------------------14分

20．（本小题满分13分）

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32?3133223?. 解：（Ⅰ）因为[]?1,[]?0，所以f()?2[3]?[2]?[3]?[2]?112232323-------------2分

1（Ⅱ）因为2?x?3，所以[x]?2,[]?0,

x----------------------3分 11 则f(x)?(x?).

3x11 求导得f?(x)?(1?2)，当2?x?3时，显然有f?(x)?0,

3x 所以f(x)在区间[2,3)上递增,

----------------------5分

510 即可得f(x)在区间[2,3)上的值域为[,),

69 在区间[2,3上存在x，使得f(x)?k成立，所以k?

--------------------7分

（Ⅲ）由于f(x)的表达式关于x与 当x?1时，

1对称，且x?0，不妨设x?1. x5.611?1，则f?1??; x2

----------------------8分

当x?1时，设x? n??，n?N*，0???1.

?1? 则?x?? n，???0，所以f?x??f(n??)??x?n???1n??. n?1

-----------------9分

?设g?x??x?11，g'(x)?1?2?0, xxg(x)在?1，???上是增函数，又n?n???n?1， 11?, ?n????n???nn??n??n?1?1?n?1??In?N*,n?2??n?n?1???

?n?1?n??n, 当x?2时，f?x????n?1?

当x?(1,2)时，f?x??(1,分

5??I1 ???? 114第 12 页 共 13 页

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故x?(1,??)时，f(x)的值域为I1∪I2∪…∪In∪… n?1 设an2?1n?1?1?n,b?n?11n?n?1n?n?1?nn?1?1??n?1?2, 则In??an,bn?. ?an?1?an?2n?n?n?1??n?2?,

?当n?2时，a2? a3? a4?…? an?… 又bn单调递减，? b2? b3?…? bn?… ?? a2，b2?? I2??I3??I4??…??In??…

----------------------12分

?I51??a?1,b?5??1??1,4??,I2??a2,?b????26,10?9??, ? I51∪I2∪…∪In∪… ? I1∪I2 ?????510??5?1,4?????6,9?????6, 综上所述，f(x)的值域为??1??2????55???6,4??.

----------------------13分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.

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5?4??.