第十六讲：二次函数（教师讲义）

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【例9】(根的判别式及韦达定理在二次函数中的应用)

1. 抛物线y??3x2?2x?1的图象与坐标轴的交点个数为( )

A 没有交点 B 只有一个交点 C 有且只有两个交点 D 有且只有三个交点【答案】B 2.设抛物线y?x2?kx?4和x轴有两个不同的交点A(x1,0)和B(x2,0),则下列结论一定成立的是( )

22222A x1?x2?17 B x12?x2?8 C x12?x2?8 D x12?x2?17【答案】B

3.函数y?kx2?6x?3的图象与x轴有交点,则k的取值的取值范围是( ) A k?3 B k?3且k?0 C k?3 D k?3且k?0 答案：D

4.如果直线y?x?1与抛物线y?x2?5x?a2相交,那第它们的交点在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案：C

22【错解】画草图, y?x?5x?a与y轴交于正半轴或原点,对称轴为x??5,直线y?x?1与y轴交于-1, 2据此画草图,如图(1)所示,据些判断交点在第三象限,但也有可能如图(2)所示情况,此时交点在第一象限故草图的

方法有风险.利用根与系数的关系做.联立

?y?x2?5x?a222 ?,把(2)代入(1)得:x?4x?1?a?0

y?x?1? 则x1?x2??4?0,x1x2?1?a2?0,可知x1,x2同为负数.

所以交点在第三象限.

图(1) 图(2)

5.已知函数y?ax?bx?c的图象如图所示,那么关于x的方程

2ax2?bx?c?2?0的根的情况是________.

答案：有2个不相等的实数根。

6.如图,将抛物线y?ax?bx?c沿x轴翻转到虚线的位置,那么 所得到的抛物线的解析式为( )

A y??ax?bx?c B y??ax?bx?c C y??ax?bx?c D y??ax?bx?c 答案：C

7.已知抛物线y?x?(4m?1)x?12m?1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点(0,?)的下方，那么m的取值范围是( )

222222121111?m? B m?? C m? D 全体实数 A ?244244

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?(x1?2)(x2?2)?0?【答案】C,设两交点为A(x1,0),B(x2,0)依题意有:?1

?12m?1????28.若抛物线y?mx2?2x?1与x轴有两个交点，求m的范围．【答案】m?1且m?0.

b4c?b2),AB?x1?x2,若9.已知二次函数y?x?bx?c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,其顶点为P(?,242S?APB?1,则b与c的关系式为( )

A b?4c?1?0 B b?4c?1?0 C b?4c?4?0 D b?4c?4?0【答案】D 10.求证：不论m为何值，抛物线y?x2?mx?m?5与y?x?1有两个不同的交点． 【答案】联立整理得:x2?(m?1)x?m?4?0,可得:??m2?6m?17?(m?3)2?8?0 11.m为何值时，函数y?(m?1)x2?4mx?4m的图象完全位于x轴下方?

2222m?1?0?【答案】?,解得: m?0. 2?(4m)?4(m?1)4m?012.已知抛物线y?ax2?bx?c过A(0,6)，B(1,0)，C(3,0)三点．求：a、b、c之值．【答案】a?2,b??8,c?3

题9: 1.若抛物线y?(m?1)x?(2m?1)x?m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为____. 【答案】m?221且m??1 82.已知y?x?(k?3)x?k?1是关于x的二次函数． (1)试证它的图象与x轴总有两个不同的交点；

(2)如果有一个交点的横坐标小于2，另一个交点的横坐标大于2，试确定实数k的范围． 【答案】(1)??(k?3)?4(k?1)?k?2k?13?(k?1)?12?0 (2) 设两交点为A(x1,0),B(x2,0),有(x1?2)(x2?2)?0,解得:k??3 3.若二次函数y?(m?1)x?(m?1)x?22221m的函数值恒大于0，则m的取值范围为_________． 4m?1?0??【答案】?,解得:m?1 12(m?1)?4(m?1)m?0??4

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4.m为何值时，抛物线y?mx?(1?m)x?【例10】(二次函数的最值及其应用)

211m都在x轴下方? 【答案】m??

241.求二次函数y??x2?x?1的最值. 【答案】y??(x?)?122155,当x?时,y最大?.

2442. “中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥（图1）．桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥

架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形 桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知 跨度AB?44m，?A?45，AC1?4m，D2的坐标为(?13,?1.69). 求：（1）抛物线D1OD8的解析式；（2）桥架的拱高OH．

0

图1 图2

【答案】解：（1）设抛物线D1OD8的解析式为y?ax ．将x=?13，y=?1.69代入，解得 a=?∴ 抛物线D1OD8的解析式为y=?

21． 10012

x． 100

（2） ∵ 横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m，∴ 点D1的横坐标是-18． 代入y=?12

x，得y=?3.24，又∵ ∠A＝45°，∴ D1C1=AC1=4m． 100∴ OH=3.24+4=7.24m．

3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF?2，BF?1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【答案】解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y ，则矩形PNDM的面积S= x y （2≤x≤4）

易知CN=4－x ，EM=4－y， 且有

NP?BCBFy?31?? 即

CNAF4?x2 ∴y??11x?5 S= x y=?x2?5x （ 2≤x≤4） 22此二次函数的图象开口向下 对称轴为x=5 ∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大

1?42?5?4?12 24.某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，决定降价，调查发现，每件降价1元，每天可多售2件． ①若平均每天要盈利1200元，每件应降多少元?

对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值 S最大=?②每件降价多少元时，平均每天盈利最大．(注：利润=总收入一总成本)

【答案】①设应降x元,则有(40?x)(20?2x)?1200,解得:x1?10,x2?20,依题意取x?20.

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②设利润为y,则y?(40?x)(20?2x),即:y??2x2?60x?800??2(x?15)2?1050; 所以当x?15时,y最大?1050

5.某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高多少元?

【答案】设每床每晚应提高x个2元,利润为y,则y?(10?2x)(100?10x), 即:y??20x?100x?1000??20(x?)?1025,x?25225不合题意,取x?3,即每床每晚应提高6元,可获最大2利润为1020元.

6.如图所示，有一个用18m长的篱笆围成两个相邻长方形的鸭圈ABFE和EFCD，若公共边EF的长为x,矩形

ABCD的面积为y.

(1)求出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围，作出它的图象． (2)当x为多少时, 矩形ABCD的面积最大?最大面积是多少?

【答案】(1)y?x(18?3x)??3x2?18x??3(x?3)2?27;(0?x?6)(2)当x?3时,y最大?27

7. 用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE?AB,

BC?AB，?C??D??E．设CD?ED?xcm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最

大?并求出S的最大值．

【答案】解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F∵∠DCB=∠CDE=∠DEA， ∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，∵DE=CD

∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°，∴四边形EABC为矩形， ∴DE=x m，∴AE=6-x，DF=

1x，EC=3x 2 s=?332x?63x (0

(2)设S?PBQ?y,请写出y(cm)与P,Q移动时间x(s)之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (3)能否使S?PBQ?

21SABCD. 2