当前位置：首页 > 高中数学人教A版选修2-2同步课时作业：1.5.1、2 Word版含解析
第一章 1.5 1.5.1、2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A．y＝x2 C．y＝x
B．y＝|x| 1
D．y＝ x
1
解析： 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
x答案： D
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间?1?A．f??n? i?C．f??n?
解析： 当n很大时，f(x)＝x2在区间?
i－1i??n，n?上的值可以用下列哪个值近似代替( )
2?B．f??n? D．f(0)
i－1i??n，n?上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然
可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案： C
3．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
1A．
91C．
27
1B．
251D．
30
1?12??2?131?1?31?2?3·0，?，，，，1，解析： 将区间[0,1]三等分为?各小矩形的面积和为s＝0·＋·＋＝1?3??33??3?3?3?3?3?31
. 9
答案： A
4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
a?i－1?ai?a
，(i＝1,2，?，n)，此区间长为n，用小矩形n??n
3
3
解析： 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为?
nai?2aai?2aa221a?1??2?1＋1＋?，面积?n?·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝? ?·＝(1＋2＋?＋n)＝·3·2n??n?nnn3?n??i＝1
依题意得
1?a3?1??a3
1＋·1＋＝9，∴＝9，解得a＝3. lim n??2n?3n→∞3?答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析： ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，?，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋?＋10)＝55. 答案： 55
6．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
解析： 由题意得
S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33. 答案： 0.33
三、解答题(每小题10分，共20分)
x2
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝所围成的曲边梯形的面积．
3x2
解析： 令f(x)＝.
3(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
2?n－1?24
x0＝0，x1＝，x2＝，?，xn－1＝，xn＝2.
nnn第i个区间为?
2i－22i?2i2i－22
＝. ，(i＝1,2，?，n)，每个区间长度为Δx＝－nnnn??n
(2)近似代替、求和 2i
取ξi＝(i＝1,2，?，n)，
n
n2i?2i?2128n2
??Sn＝?f?n?·Δx＝? ?n?··＝2?i
3n3ni＝1
i＝1i＝1
n
＝
828n?n＋1??2n＋1?22
· 3(1＋2＋?＋n)＝3n3n36
318
1＋＋2?. ＝?2n2n?9?
31888
1＋＋2?＝，即所求曲边梯形的面积为. (3)取极限S＝limSn＝lim ?2n2n?99n→∞n→∞9?
8．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动．在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解析： ①分割：将时间区间[0,1]分为n等份，形成n个小区间[ti－1，ti]＝?
i－1i?
?n，n?(i＝1,2，?，n)，
1
且每个小区间长度为Δti＝(i＝1,2，?，n)．汽车在每个时间段上行驶的路程分别记作：Δs1，Δs2，?，Δsn.
n
则显然有s＝?Δsi.
i＝1n
②近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间?等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点
i－1i?，上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地?nn?i－1i－1?i－1?2
处的函数值v?＝－?n?n??n?＋2.从物理意义看，就是
i－1i－1??i－1i?
汽车在时间段?n，n?(i＝1,2，?，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v?n?n?＝－?
i－1?2
?n?＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是 Δsi≈Δs′i＝v?＝－?
i－1?i－1?2?1
Δt＝?－?
n?n???n?＋2?·
(*)
i－1?212
＋(i＝1,2，?，n)． nn?n?·n
n
③求和：由(*)得sn＝?Δs′i＝?v?
i＝1
i＝1
i－1??n?Δt
＝? ?－?
i＝1
n
i－1?212?
＋ nn???n?·11?211?n－1?2·＝－0·－?·－?－
n?n?n?n?n＋2 1
＝－3[12＋22＋?＋(n－1)2]＋2
n
1?n－1?n?2n－1?＝－3·＋2
n6111
1－??1－?＋2. ＝－?3?n??2n?④取极限：当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时， 111
1－??1－?＋2趋向于s，从而有 sn＝－?3?n??2n?n1i－1? s＝limsn＝lim? v?n→∞n→∞i＝1n?n?
1115
1－??1－?＋2?＝. ＝lim ?－3??n??2n??3n→∞?
尖子生题库
☆☆☆
(10分)求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．
?提示：13＋23＋?＋n3＝?1n?n＋1??2?
??2??
解析： ①分割
n＋1n＋2n＋?n－1?如图所示，用分点，，?，，把区间[1,2]等分成
nnn
n个小区间每个小区间的把曲边梯形
?1，n＋1?，?n＋1，n＋2?，?，?n＋i－1，n＋i?，?，?n＋?n－1?，2?，
n?n?n??n??nn??
n＋in＋i－11
长度为Δx＝－＝(i＝1,2,3，?，n)．过各分点作x轴的垂线，
nnnABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，?，ΔSn.
②近似代替
各小区间的左端点为ξi，取以点ξi的纵坐标ξ3i为一边，以小区间
1
长Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示
n
?为ΔSi≈ξ3i·Δx＝
③求和
n＋i－1?31
(i＝1,2,3，?，n)． n?n?·因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即S＝?ΔSi≈? ?
i＝1
i＝1
n
n
n＋i－1?31
. n?n?·④取极限
当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n→∞，即Δx→0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
n＋i－1?311n?因为? ·＝4? (n＋i－1)3 n?nni＝1i＝1?
n
1n
＝4?[(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3] ni＝1
n?n＋1?1n1
＝4[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]， n264所以S＝lim? ?
n→∞i＝1
n
n＋i－1?31
n?n?·3115
＝1＋＋1＋＝. 244
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