高中数学课时跟踪检测六函数的极值与导数新人教A版选修

课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数

层级一 学业水平达标

1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．非充分非必要条件

解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x在R上是增函数，f′(x)＝3x，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.

2

2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )

3

2

x1

A．x＝为f(x)的极大值点

21

B．x＝为f(x)的极小值点

2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

211?2?

解析：选D 由f′(x)＝－2＋＝?1－?＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，

xxx?x?

f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．

3．已知函数f(x)＝2x＋ax＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )

A．(2,3) C．(2，＋∞)

3

2

3

2

B．(3，＋∞) D．(－∞，3)

2

解析：选B 因为函数f(x)＝2x＋ax＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．

4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )

解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时

xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)

1 / 6

＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.

5．已知函数f(x)＝x－px－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )

A.4

，0 27

4

B．0，

274

D．0，－

27

23

2

4

C．－，0

27

解析：选A f′(x)＝3x－2px－q， 由f′(1)＝0，f(1)＝0得，

?3－2p－q＝0，????1－p－q＝0，

解得?

?p＝2，?

??q＝－1，

∴f(x)＝x－2x＋x.

32

1142

由f′(x)＝3x－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时

3327

f(x)取极小值0.

6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx＋x的两个极值点，则常数a＝______________.

2

a＋2b＋1＝0，??a解析：∵f′(x)＝＋2bx＋1，由题意得?ax＋4b＋1＝0.??2

2

∴a＝－.

32

答案：－

3

12

7．函数f(x)＝ax＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．

a1

解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值，

a1?1?∴f′??＝2a·＋b＝0，即b＝－2.

?a?

a答案：－2

8.已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)

3

①当x＝时，函数f(x)取得最小值；

2②f(x)有两个极值点；

③当x＝2时函数值取得极小值； ④当x＝1时函数取得极大值．

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3

2

解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．

答案：①

9．设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值． 解：由f(x)＝e－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

xxxx f′(x) f(x)

(－∞，ln 2) － 单调递减↘ ln 2 0 2(1－ln 2＋a) (ln 2，＋∞) ＋ 单调递增↗ 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．

极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．

10．已知f(x)＝ax＋bx＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值；

(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax＋2bx＋c，

且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 13∴a＝，b＝0，c＝－.

22133(2)由(1)知f(x)＝x－x，

223233

∴f′(x)＝x－＝(x－1)(x＋1)．

222

当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1

∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1； 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

层级二 应试能力达标

1．函数f(x)＝ax＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( ) A．1，－3 C．－1,3

解析：选A ∵f′(x)＝3ax2

3

2

3

2

B．1,3 D．－1，－3

??3a＋b＝0，

＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴?

?a＋b＝－2，?

3 / 6

∴a＝1，b＝－3.

2．已知f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( ) A．(－1,2)

C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

2

3

2

B．(－3,6)

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析：选C f′(x)＝3x＋2ax＋a＋6，

∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.

3．设a∈R，若函数y＝e＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 1

C．a＜－

e

xxx2

B．a＞－1 1

D．a＞－

e

xx解析：选A ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a.令y′＝e＋a＝0，则e＝－a，∴x＝ln(－

a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.

4．已知函数f(x)＝e(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )

A.C.ee

2π

x1－e2π

e－11－e

2π

1－e

2 018π

xB.D.

ee

π

1－e

2π

1－e1－e

π

1－e

2 016π

π1 008ππ1 008π

解析：选B f′(x)＝2esin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π

3

2

π

3π

5π

2 015π

e[1－e

＝2π

1－e

π2π1 008

]e＝

π

1－e

2π1－e

2 016π

，故选B.

5．若函数y＝－x＋6x＋m的极大值为13，则实数m等于______．

解析：y′＝－3x＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.

答案：－19

6．若函数f(x)＝x＋x－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．

解析：由题意，f′(x)＝3x＋2x－a，

则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1

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3

2

3

2

2

3

2

2