二次根式导学案(人教版全章)

二次根式(1)导学案

（一）复习回顾：

（1）已知x2?a，那么a是x的_____;x是a的______, 记为____,a一定是_____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为4 =__________；正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子a?0(a?0)的意义是 。 （二）自主学习

(1)16的平方根是 ；

(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式h?5t2。如果用含h的式子表示t，则t= ； (3)圆的面积为S，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为b?3，则边长为 。 思考：16，

h5 ，s?,b?3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.

定义: 一般地我们把形如a（a?0）叫做二次根式，a叫做_____。称为 。

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

3，?16，34，?5，a3(a?0)，x2?1

2、当a为正数时a指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ：

(1) (4)2 (2) ( 3)2（3）(0.5)2 （4）(123) 根据计算结果，你能得出结论： (a)2?________，其中a?0,

4、由公式(a)2?a(a?0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

如(5)2

=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2

.

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：

6 0.35

(2)在实数范围内因式分解：x2?7 4a2-11

（三）合作探究

例：当x是怎样的实数时，x?2在实数范围内有意义？

解：由x?2?0，得

x?2

当x?2时，x?2在实数范围内有意义。

练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？

①3x?4 ②2?23x ③ ? 12 ?x2、（1）若a?3?3?a有意义，则a的值为___________． （2）若 ?x在实数范围内有意义，则x为（ ）。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

3、(1)在式子

1?2x1?x中，x的取值范围__________.

(2)已知x2?4+2x?y＝0，则x?y?_____________. (3)已知y?3?x?x?3?2,则yx= _____________。

（四）达标测试

1、?2?3??5??? 2、若2x?1?y?1?0，那么x= ，y= 。??3、当x= 时，代数式4x?5有最小值，其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解：

（1）x2?9?x2?( )2

=（x+ ）(y- （)2）x2?3?x2?( )2

=（x+ ）(y- )5、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为 6、二次根式a?1中，字母a的取值范围是

二次根式(2)

（一）复习回顾：

（1）什么是二次根式，它有哪些性质？

（2）二次根式2x?5有意义，则x 。

（3）在实数范围内因式分解：x2?6?x2?( )2

=（x+ ）(y- ) （二）自主学习 1、计算：

42? 0.22? (45)2? 202? 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a?0时,a2? 2、计算：

(?4)2? (?0.2)2? (?45)2? (?20)2? 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a?0时,a2? 3、计算：

02? 当a?0时,a2?

（三）合作探究 1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

?aa?0a2?a???00

???aa?02、化简下列各式：

（1）、0.32? （2）、(?0.5)2? （3）、(?6)2? （4）、?2a?2= （a?0）3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2?a(a?0)与a2?a有什么区别与联系。（四）巩固练习 1、化简下列各式

（1）4x2(x?0) (2) x4

2、化简下列各式

（1）(a?3)2(a?3) （2）

?2x?3?2（x＜-2）

注：利用a2?a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （五）达标测试：

A组

1、填空：（1）、(2x?1)2-(2x?3)2(x?2)=_________.

（2）、(??4)2=

（3）a、b、c为三角形的三条边，则(a?b?c)2?b?a?c?________.

2、已知2＜x＜3，化简：(x?2)2?x?3

B组

3 已知0＜x＜1，化简：(x?1)2?4－(x?12xx)?4 4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为

a3的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

5、把?2?x?1x?2的根号外的?2?x?适当变形后移入根号内，得（ ） A、2?x B、x?2 C、?2?x D、?x?2

6、 若二次根式?2x?6有意义，化简│x-4│-│7-x│。

二次根式的乘除法 二次根式的乘法

一、学习目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 二、学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化

简。

三、学习过程

（一）复习引入 1．填空：（1）4×9=____，4?9=____； 4×9__4?9 （2）16×25=____，16?25=___； 16×25__16?25 （3）100×36=___，100?36=___． 100×36__100?36 （二）、探索新知

1、 学生交流活动总结规律．

2、一般地，对二次根式的乘法规定为 a·b＝ab．（a≥0，b≥0 反过来: ab=a·b（a≥0，b≥0） 例1、计算

（1）5×7 （2）13×9 （3）36×210 （4）5a·15ay 例2、化简

（1）9?16 （2）16?81 （3）81?100 （4）9x2y2 （5）54 巩固练习

（1）计算： ①

16×8 ②55×215 ③

12a3·13ay2

（2）化简:

20; 18;

24; 54; 12a2b2

（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(?4)?(?9)??4??9 （2）41225×25=4×1225×25=41225×25=412=83 （四）展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之

积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （五）达标测试：

A组

1、选择题

（1）等式x?1?x?1?x2?1成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

（2）下列各等式成立的是（ ）．

A．45×25=85 B．53×42=205 C．43×32=75 D．53×42=206

（3）二次根式(?2)2?6的计算结果是（ ）

A．26 B．-26 C．6 D．12 2、化简：

（1）360； （2）32x4；

3、计算：

（1）18?30； （2）3?275；

B组

1、选择题

（1）若a?2?b2?4b?4?c2?c?14?0，则b2?a?c=（ ） A．4 B．2 C．-2 D．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A．(?4)?(?6)??4??6=（-2）×（-4）=8

B．4a4?4?a4?22?(a2)2?2a2

C．32?42?9?16?25?5

D．132?122?(13?12)(13?12)?13?12?13?12?25?1

2、计算：（1）68×（-26）； （2）8ab?6ab3；

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3

23 (2) ?2a12a 二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化

简。

三、学习过程 （一）复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算： （1）38×（-46） （2）12ab?6ab3

3、填空： （1）916=____，916=____； 规律： 9916______16；

（2）16=____，16=____； 163636

36______1636；

（3）4=____，441616=____；

16_______416；

（4）363681=____，3681=___．

81_______3681．

一般地，对二次根式的除法规定：

ab=aaab（a≥0，b>0）反过来，b=b（a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

（二）、巩固练习 1、计算：（1）123 （2）312?8 （3）11644?16 （4）8

2、化简：

（1）364 （2）64b29a2 （3）9x5x64y2 （4）169y2 注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （三）拓展延伸 阅读下列运算过程：