山东省泰安市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

山东省泰安市2019-2020学年高考数学三模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2?4x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

方法一：设P(?1,0)，利用抛物线的定义判断出B是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得B点的横坐标，根据抛物线的定义求得|FB|，进而求得FA.

方法二：设出A,B两点的横坐标xA,xB，由抛物线的定义，结合|FA|?2|FB|求得xA,xB的关系式，联立直线y?k?x?1?的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得xA，进而求得FA. 【详解】

方法一：由题意得抛物线y?4x的准线方程为l:x??1，直线y?k(x?1)恒过定点P(?1,0)，过A,B分别作AM?l于M，BN?l于N，连接OB，由|FA|?2|FB|，则|AM|?2|BN|，所以点B为AP的中点，又点O是PF的中点， 则|OB|?2B．2 C．3 D．4

1|AF|，所以|OB|?|BF|，又|OF|?1 21， 2所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为所以|FB|?1?13?，所以|FA|?2|FB|?3． 22

方法二：抛物线y?4x的准线方程为l:x??1，直线y?k(x?1) 由题意设A,B两点横坐标分别为xA,xB(xA,xB?0)， 则由抛物线定义得|FA|?xA?1,|FB|?xB?1

又|FA|?2|FB|,?xA?1?2(xB?1)?xA?2xB?1 ①

2?y2?4x?k2x2?(2k2?4)x?k2?0?xA?xB?1 ② ??y?k(x?1)2由①②得xA?xA?2?0,?xA?2,|FA|?xA?1?3.

故选：C 【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

bx2y22．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1,F2，一条渐近线方程为l:y??x，过点F1且与l垂

abauuur1uuur1uuur 直的直线分别交双曲线的左支及右支于P,Q，满足OP?OF1?OQ，则该双曲线的离心率为（ ）

22A．10 【答案】A 【解析】 【分析】

B．3

C．5 D．2

2abby?y?PQ设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，直线的方程为x?y?c，联立方程得到12a?b2?a2?c，a2b422y1y2?222，根据向量关系化简到b?9a，得到离心率.

?b?a?c3【详解】

设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，直线PQ的方程为x?by?c. ab?x?y?c,??a442324b?ay?2abcy?ab?0， 联立?2整理得2?x?y?1,??a2b2??2ab3a2b4,y1y2?2则y1?y2?22?b?a?c?b?a2?c2.

uuur1uuur1uuur因为OP?OF1?OQ，所以P为线段QF1的中点，所以y2?2y1，

22?y1?y2?y1?y222622294ab?b?a?c4b222???222242，整理得b?9a， 222?b?a?cab?b?a?故该双曲线的离心率e?10. 故选：A.

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3．已知点A(?3,0),B(0,3)，若点P在曲线y??1?x2上运动，则△PAB面积的最小值为（ ） A．6 【答案】B 【解析】 【分析】

求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(?1,0)，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】

解：曲线y??1?x2表示以原点O为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB的方程为x?y?3?0，

可得|AB|?32，由圆与直线的位置关系知P在(?1,0)时，P到直线AB距离最短，即为

B．3

C．

93?2 22D．

93?2 22|?1?0?3|?2， 2则△PAB的面积的最小值为故选：B.

1?32?2?3. 2

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．

4．已知函数f?x??lnx，g?x???2m?3?x?n，若对任意的x??0,???总有f?x??g?x?恒成立，记?2m?3?n的最小值为f?m,n?，则f?m,n?最大值为（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

1B．

e1C．2

e1D． e对任意的x??0,???总有f?x??g?x?恒成立，因为lnx?(2m?3)x?n，对x??0,???恒成立，可得

2m?3?0，令y?lnx?(2m?3)x?n，可得y??【详解】

1?(2m?3)，结合已知，即可求得答案. xQ对任意的x??0,???总有f?x??g?x?恒成立

?lnx?(2m?3)x?n，对x??0,???恒成立， ?2m?3?0

令y?lnx?(2m?3)x?n，

1?(2m?3) x1 令y??0，得x?2m?3可得y??