湖南省衡阳市2019年中考数学试题及参考答案与解析

12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【知识考点】动点问题的函数图象．

【思路分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝到结论；

【解答过程】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形EFCD是矩形， ∵E是AB的中点， ∴EF＝

AC，DE＝

BC，

（2a﹣t）2＝

t2；当

t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得

∴EF＝ED，

∴四边形EFCD是正方形， 设正方形的边长为a，

如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝∴S关于t的函数图象大致为C选项， 故选：C．

（2a﹣t）2＝

t2；

t2﹣2at+2a2，

5

【总结归纳】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.) 13．因式分解：2a2﹣8＝ ．

【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【思路分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【解答过程】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）． 故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 14．在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为【知识考点】概率公式．

【思路分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得． 【解答过程】解：根据题意知解得a＝5，

经检验：a＝5是原分式方程的解， ∴a＝5， 故答案为：5．

【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．

﹣

＝ ．

＝

，

，则a等于 ．

【知识考点】二次根式的加减法．

【思路分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答过程】解：原式＝3故答案为：2

．

﹣

＝2

．

【总结归纳】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般． 16．计算：

+

＝ ．

【知识考点】分式的加减法．

【思路分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

6

【解答过程】解：原式＝故答案为：1．

﹣＝＝1．

【总结归纳】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ． 【知识考点】三角形的外接圆与外心．

【思路分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长． 【解答过程】解：如图，圆半径为6，求AB长．

∠AOB＝360°÷3＝120°

连接OA，OB，作OC⊥AB于点C， ∵OA＝OB，

∴AB＝2AC，∠AOC＝60°， ∴AC＝OA×sin60°＝6×∴AB＝2AC＝6故答案为：6

． ，

＝3

，

【总结归纳】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．

18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1

∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．

【知识考点】二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．

【思路分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找

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出变化规律，即可找出点A2019的坐标． 【解答过程】解：∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1）， ∵A1A2∥OA，

∴直线A1A2为y＝x+2， 解

得

或

，

∴A2（2，4）， ∴A3（﹣2，4）， ∵A3A4∥OA，

∴直线A3A4为y＝x+6， 解

得

或

，

∴A4（3，9）， ∴A5（﹣3，9） …，

∴A2019（﹣1010，10102）， 故答案为（﹣1010，10102）．

【总结归纳】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19．（6分）（

）3+|

﹣

﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0

【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答过程】解：原式＝8+2﹣＝9．

【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：

+

﹣1

8