2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：32 点直线与圆的位置关系

∴∴图中阴影部分的面积为． ． 点评： 此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法． 13．（2014?德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE． （1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

考点：切 线的判定；勾股定理；圆周角定理． 分析：（ 1）①连接BD，先求出AC，在RT△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC， （2）由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切． 解答：解 ：（1）①如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在RT△ABC中， AC===8， ②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD， ∴Rt△ABD是直角等腰三角形， ∴AD=AB=×10=5cm；

（2）直线PC与⊙O相切， 理由：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠CAO=∠OCA， ∵PC=PE， ∴∠PCE=∠PEC， ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ECB， ∴∠PCB=∠ACO， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切． 点评：本 题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角． 14.（2014?菏泽，第18题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

=，求cos∠ABC的值．

考点： 分析： 切线的判定；勾股定理． （1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE； （2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股=2k．则tanE==．所以在Rt△OCE定理求得AE=中，tanE==． 在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，cos∠ABC=cos∠AOD==． 解答： （1）证明：如图，连接OC． ∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径， ∴AD⊥AB， ∴∠DAB=90°． ∵OD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵OC=OB， ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3． 在△COD和△AOD中， ， ∴△COD≌△AOD（SAS） ∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C． ∵OC是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k， ∴AD=DC=k． ∴在Rt△DAE中，AE==2k． ∴tanE==．

故

∵在Rt△OCE中，tanE=∴=， ． =． ∴OC=OA=∴在Rt△AOD中，OD=∴cos∠ABC=cos∠AOD==． =k， 点评： 本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．