[高考]2020年高考数学一轮复习对点提分专题5.3 等比数列及其前n项和（文理科通用）（教师版）

a－

5.(2019·深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n1＋b，则＝( )

bA.－3 【答案】 A

【解析】 ∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n1＋b， ∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a， a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a， ∵等比数列{an}中，a22＝a1a3， a

∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.

b二、填空题

a13＋a141

6.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.

2a14＋a15【答案】

2－1

－

B.－1 C.1 D.3

【解析】 设{an}的公比为q.由题意得a1＋2a2＝a3，则a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，所以q＝1＋2(舍负). 则

a13＋a141

＝＝2－1.

a14＋a15q

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________. 【答案】

1 2n【解析】 ∵an＋Sn＝1，① 1

∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②

2

an1

由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，

an－1211

∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，

2211?则an＝×?2?2?n－1

1

＝n. 2

a2n＋1

8.(2018·南京模拟)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________.

an【答案】 1 022

a2n＋12【解析】 由＝4(an＋1－an)得，a2n＋1－4an＋1an＋4an＝0， anan＋1

∴(an＋1－2an)2＝0，＝2，∴数列{an}是首项

an三、解答题

2(1－29)

a1＝2，公比为2的等比数列，∴S9＝＝1 022.

1－2

9

9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 【答案】见解析

【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n

－1

－

或an＝2n1.

1－（－2）n

，则Sn＝.

3

－

(2)若an＝(－2)

n－1

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.

10.已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值. 【答案】见解析

【解析】(1)根据已知a1＝1，an＋1＝an＋2， 即an＋1－an＝2＝d，

所以数列{an}是一个首项为1，公差为2的等差数列， an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)数列{an}的前n项和Sn＝n2.

等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3， 所以q＝3，bn＝3n1.

1－3n3n－1

数列{bn}的前n项和Tn＝＝.

21－33n－12

Tn≤Sn即≤n，又n∈N*，所以n＝1或2.

2【能力提升题组】(建议用时：20分钟)

11.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得T1>1的n的最小值为( ) A.4 【答案】 C

【解析】 ∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，∴a23＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a1

B.5

C.6

D.7

－

－

10

an>1(n>3)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N*)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2<1，T4＝a1a2a3a4＝a1<1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a5a6＝a6>1，故n的最小值为6. 3＝1，T6＝T5·

22212.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a2＋a3＋…＋an等于( )

A.(3n－1)2 C.9n－1 【答案】 B

1

B.(9n－1) 21

D.(3n－1) 4

【解析】 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n1－1， ∴当n≥2时，an＝3n－3n1＝2·3n1， 又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n1， 故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列. 因此

22

a21＋a2＋…＋an＝

－

－

－

－

4(1－9n)1n

＝(9－1). 21－9

2，且S＋S＝λS，则λ＝13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a54128

______. 8

【答案】 3

【解析】 ∵{an}是等比数列，a3a11＝2a25，

24∴a27＝2a5，∴q＝2，

a1（1－q4）a1（1－q12）λa1（1－q8）∵S4＋S12＝λS8，∴＋＝，

1－q1－q1－q∴1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)， 8

将q4＝2代入计算可得λ＝.

3

14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an； (2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn. 【答案】见解析

【解析】(1)因为an＋1＝2an＋λ，所以an＋1＋λ＝2(an＋λ). 又a1＝1，

所以当λ＝－1时，a1＋λ＝0，数列{an＋λ}不是等比数列， 此时an＋λ＝an－1＝0，即an＝1； 当λ≠－1时，a1＋λ≠0，所以an＋λ≠0，

所以数列{an＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时an＋λ＝(1＋λ)2n1，即an＝(1＋λ)2n1－λ. (2)由(1)知an＝2n－1，所以n(an＋1)＝n×2n，

11

－

－

Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n1，② ①－②得：－Tn＝2＋2＋2＋…＋2－n×2所以Tn＝(n－1)2n1＋2. 【新高考创新预测】

15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ea1的是( ) A.a1a2>a3>a4 【答案】 A

【解析】 构造函数f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＝0，x＝0，得极小值f(0)＝0，故f(x)≥0，即ex≥x＋1恒成立(x＝0取等号).a1＋a2＋a3＋a4＝ea1

＋a＋a

＋a＋a

＋

＋

23nn＋1

2（1－2n）＋＋＋＋＝－n×2n1＝2n1－2－n×2n1＝(1－n)2n1－2.

1－2

2

3.若a1>1，则下列选项可能成立

B.a1＝a2＝a3＝a4 D.以上结论都有可能成立

2

3>a1＋a2＋a3＋1?a4>1?q>0，且

＋a＋a

a2>1，a3>1，

若公比q∈(0，1]，则4a1≥a1＋a2＋a3＋a4＝ea1所以公比q>1，故a1

2

＋

3>e2a1>7ea1>7a1＋7>4a1，产生矛盾.

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