【高考】2020年高考数学一轮复习对点提分专题5.3 等比数列及其前n项和 (文理科通用)(教师版)

【解析】(1)证明 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)， 则Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，

所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)， 又由题意知a1－2a1＝－3， 所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，

所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知Sn－n＋2＝2n1， 所以Sn＝2n1＋n－2，

于是Tn＝(22＋23＋…＋2n1)＋(1＋2＋…＋n)－2n 4（1－2n）n（n＋1）2n3＋n2－3n－8＝＋－2n＝.

221－2考点三 等比数列的性质及应用

【例3】 (1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( ) A.12

B.10

C.8

D.2＋log35

＋

＋

＋

＋

(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( ) A.40

【答案】 (1)B (2)B

【解析】 (1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.

(2)数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60. 【规律方法】

1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.

2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.

【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( ) A.－2

B.－2

C.±2

D.2

B.60

C.32

D.50

S6S9

(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.

S3S67

【答案】 (1)B (2)

3

【解析】 (1)根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4， a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，

5

所以a3<0，a7<0，即a5<0，

2，得a＝－aa＝－2. 由a3a7＝a5537

(2)法一 由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3， ∴

S6－S3S9－S6S97＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. S3S63S6－S3

S6

法二 因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a(a≠0)，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即

S3S97a7

a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝. S63a3【反思与感悟】

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.

(2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论. 【易错防范】

1.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.

2.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立. 【核心素养提升】

【数学运算】——等差(比)数列性质的应用

1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.

2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和： (1)S2n－1＝(2n－1)an；

(2)设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.

2＝0，S【例1】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am2m－1＝38，则m＝________.

(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.

【答案】 (1)10 (2)5

2＝0得2a－a2＝0，解得a＝0或2. 【解析】 (1)由am－1＋am＋1－ammmm

6

（2m－1）（a1＋a2m－1）

又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，

2显然可得am≠0，所以am＝2.

代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.

(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.

???S奇＋S偶＝354，?S偶＝192，

由已知条件，得?解得?

??S∶S＝32∶27，S＝162.偶奇奇??

192－162

又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.

6类型2 等比数列两个性质的应用

在等比数列{an}中，(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an·am＝ap·aq；(2)当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).

【例2】 (1)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A.6

B.5

C.4

D.3

(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( ) 1A. 8

【答案】 (1)C (2)A

【解析】 (1)数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.

(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以118(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 88类型3 等比数列前n项和Sn相关结论的活用

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q. 若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.

(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm(q为公比).

1B.－

8

57C. 8

55D. 8

【例3】 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

?1?

(2)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列?a?的前5项和为________.

?n?

31

【答案】 (1)2 (2) 16

???S奇＋S偶＝－240，?S奇＝－80，?【解析】 (1)由题意，得解得? ?S奇－S偶＝80，?S偶＝－160，??

S偶－160

所以q＝＝＝2.

S奇－80

7

(2)设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0. 则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.

?1?1

所以数列?a?是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为

2?n?

1?1－??2?5

31

＝. 1161－2

【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( ) A.8 【答案】 C

【解析】 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9， ∴m＝10.

2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为( ) A.16 【答案】 B

【解析】 因为a4与a14的等比中项为22， 所以a4·a14＝a7·a11＝(22)2＝8， 所以2a7＋a11≥22a7a11＝22×8＝8， 所以2a7＋a11的最小值为8.

3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( ) A.1 【答案】 D

B.5

31

C. 48

11D. 16

B.8

C.22

D.4

B.9

C.10

D.11

?－1?1－35?2?11a1（1－q）a1（1－q）1

【解析】 由题意得＝3a1q2，解得q＝－或q＝1(舍)，所以S5＝＝＝. 21?161－q1－q?1－?－2?4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 【答案】 B

【解析】 设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7＝381，公比q＝a1（1－27）

2.∴＝381，解得a1＝3.

1－2

8

5

B.3盏 C.5盏 D.9盏