概率论与数理统计第17讲 9.11

概率论与数理统计第17讲（夜大）

第二节 抽样分布

定义：设X1,?,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,?,Xn)是X1,?,Xn的函数，若g中不含有未知参数，则称g(X1,?,Xn)是一统计量。

因为X1,?,Xn都是随机变量，而统计量g(X1,?,Xn)是随机变量的函数，因此统计量是一个随机变量，设x1,?,xn是相应于样本X1,?,Xn的样本值，则称g(x1,?,xn)是

g(X1,?,Xn)的观察值。

下面列出几个常用的统计量。设X1,?,Xn是来自总体X的一个样本，x1,?,xn是这一样本的观察值。定义

1n 样本均值 X??Xi

ni?11n 样本方差 S??Xi?Xn?1i?12??22?1?n2???Xi?nX? n?1?i?1?1n 样本标准差 S?S??Xi?Xn?1i?12??2

1nk 样本k阶（原点）矩 Ak??Xini?11n 样本k阶中心矩 Bk??Xi?Xni?1k?1,2,?

??kk?2,3?

它们的观察值分别为（大写字母变成小写）…。这些观察值仍然分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶（原点）矩以及样本k阶中心矩。

我们指出，若总体X的k阶矩EX??k存在，则当n??时，Ak????k,k?1,2,?。这是因为X1,?,Xn独立且与X同分布，所以X1,?,Xn独立且与X同分布。故有

k EX1k???EXn??k

kkkkp1nkp由大数定律（辛钦定理）知道：Ak??Xi????kni?1pk?1,2,?

进而由依概率收敛的序列的性质，有：g?A1,?,Ak????g??1,?,?k?

1

其中g为连续函数。这就是矩估计法的理论基础。

统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时常需要知道它的分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的。下面介绍几个常用统计量的分布。

一、?2分布 设X1,?,Xn是来自正态总体N?0,1?的样本，则称统计量

2 ?2?X12???Xn

服从自由度为n的?2分布，记为?2~的个数。

?2统计量的性质： （1）可加性。设?1~2?2?n?。此处自由度是指等式右边包含的独立变量

2相互独立，则有 ?2?n1?，?22~?2?n2?，并且?12,?22 ?12??2~?2?n1?n2? （由?分布的可加性可得）

（2）若?2~?2?n?，则有 E?2?n,D?2?2n

事实上，因为Xi~N?0,1?，所以EXi2?DXi?1，

DXi2?EXi4?EXi2??2?3?1?2,i?1,2,?,n

22于是 E?2?EX12???EXn?n， D?2?DX12???DXn?2n 2 ?分布的分位点 对于给定的正数?，0???1，称满足条件

P??22????n????f?y?dy??

??n?2??22的点???n?为??n?分布的上?分位点，如图所示。

对于不同的?,n，上?分位点的值已经制成表格，可以查表来求。例如对于

2n?45为止，费舍??0.1,n?25，查表得?0.1?25??34.382。但是需要说明该表只列到

曾证明，当n充分大时，近似地有 ???n??221z??2n?1 2??2其中z?是标准正态分布的上?分位点。利用该式可以求n?45时??n?分布的上?分位点

的近似值。

二、t分布 设X~N?0,1?,Y~?2?n?，且X，Y相互独立，则称随机变量

XYn2

t?

服从自由度为n的t分布。记为t~t?n?。

t分布又称为学生氏分布（1907年英国统计学家Gosset以笔名Student首次发表）。t?n?分布的概率密度函数为

h?t?的图形关于t?0对称，当n充分大时其图形类似与标准正态分布概率密度的图形。事实上，利用?函数的性质，可得 limh?t??n??12?e?t22

故当n足够大时，t分布近似于标准正态分布。但对于较小的n，t分布与标准正态分布相差较大。

t分布的分位点 对于给定的正数?，0???1，称满足条件 P?t?t??n???t?? 点t??n?为t?n?分布的上?分位点，如图所示。

由t分布上?分位点的定义及h?t?图形的对称性可知 t1???n???t??n? t分布上?分位点可查表求得。在n?45时，对于常用的?值，就用正态近似： t??n??z? 三、F分布 设U~?2?n1?，V~?2?n2?，且U，V相互独立，则称随机变量

Un1 Vn2 F?服从自由度为?n1,n2?的F分布，记为F~F?n1,n2?。

1~F?n2,n1? F F分布的分位点 对于给定的正数?，0???1，称满足条件

由定义可知，若F~F?n1,n2?，则

P?F?F??n1,n2?????F??n1,n2???y?dy??

的点F??n1,n2?为F?n1,n2?分布的上?分位点，如图所示。

上?分位点的值已经制成表格，可以查表来求。F?n1,n2?分布的上?分位点有以下重要性质： F1???n1,n2??1

F??n2,n1?上式常用来求F分布表中未列出的常用的上?分位点。

3

四、正态总体的样本均值与样本方差的分布

设总体X（不管服从什么分布，只要均值和方差存在）的均值为?，方差为?，

2X1,?,Xn是来自X的一个样本，X,S2是样本均值和样本方差，则总有

1n1EX??Xi??, DX?2ni?1n2?DXi?1ni??2n

2?2?11?n?n2ES?E??Xi?nX????EXi2?nEX?

n?1?i?1?n?1?i?1????21?n222?????2 ???????n??????n?1??n???i?1?? 进而，设X~N??,??21n，可知X??Xi也服从正态分布，于是有以下定理：

ni?1 定理一 设X1,?,Xn是来自正态总体N??,??的样本，X是样本均值，则有

2??2?? X~N??,?n?

??对于正态总体N??,??的样本均值X和样本方差S

22

，有以下两个重要定理。

2 定理二 设X1,?,Xn是来自正态总体N差，则有

??,??的样本，X,S2是样本均值和样本方

?n?1?S2 （1）

?2~?2?n?1?； （2）X,S2相互独立

定理三 设X1,?,Xn是来自正态总体N差，则有

??,??的样本，X,S22是样本均值和样本方

X??Sn~t?n?1?

对于两个正态总体的样本均值和样本方差有以下定理 定理四 设X1,?,Xn1与Y1,?,Yn2是来自正态总体N??,??和N??,??的样本，

221122且这两个样本相互独立（即随机变量（X1,?,Xn1）与（Y1,?,Yn2）相互独立）。设

2分别是这两个样本的样本均值和样本方差，并有 X,Y,S12,S2 4