高等代数 第一章 行列式

第一章 行列式

习题精解

1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性

1) 2) 3)

1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 9 8 7 6 5 4 3 2 1;

解:1) 所求排列的逆序数为:

??134782695??0?1?1?3?3?0?1?1?10 所以此排列为偶排列.

2) 所求排列的逆序数为:

??1?0?4?5?4?3?0?1?18 ??217986354 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:

??987654321??8?7?6?5?4?3?2?1? 所以此排列为偶排列. 2.选择i与k使

1) 1274i56k9成偶排列; 2) 1i25k4897成奇排列.

解: 1) 当i?8,k?3时, 所求排列的逆序数为:

9?9?1??36 2???1274i56k9????127485639?0?0?4?1?3?1?1?0?10

故当i?8,k?3时的排列为偶排列.

2)当i?3,k?6时, 所求排列的逆序数为:

???1i25k4897????132564897?0?1?0?1?1?0?1?1?5

故当i?3,k?6时的排列为奇排列.

3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换.

1,2?2,5?3,4??21435?????25431?????25341解: 12345????.

4.决定排列n?n?1??21的逆序数,并讨论它的奇偶性.

(行列式第 1页 )

解: 因为1与其它数构成n?1个逆序,2与其它数构成n?2个逆序, ……n?1与n构成1个逆序,所以排列n?n?1??21的逆序数为

??n?n?1??21???n?1???n?2????2?1n?n?1? 2故当n?4k,4k?1时，排列为偶排列；?当n?4k?2,4k?3时排列为奇排列。 5.如果排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,排列xnxn?1?x2x1的逆序数是多 少?

解: 因为比xi大的数有n?xi个,所以在

xnxn?1?x2x1与x1x2?xn?1xn这两个排列中,由xi与比它的 各数构成的逆序数的和为n?xi.因而,由xi构成的逆序总数 恰为

1?2????n?1??n?n?1? 2

而排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,故排列xnxn?1?x2x1的逆序数 为

n?n?1??k. 26.在6阶行列式中,a23a31a42a56a14a65, a32a43a14a51a66a25这两项应带有 什么符号?

解: 在6阶行列式中,项a23a31a42a56a14a65前面的符号为 (?1)??234516????312645????1?4?4?1 .

同理项a32a43a14a51a66a25前面的符号为 ??1???341562????234165????1?6?4?1 .

所以这两项都带有正号.

7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。 解： 所求的各项应是

?a11a23a32a44 ， ?a12a23a34a41 ， ?a14a23a31a42 .

（行列式第2页）

8．按定义计算行列式：

00?01000?200???? 2）? 1）?0n?1?000n0?00n00 3）??010?200???? .

10?02????00?.

00?n?100?0n?1?0000?00n 解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项a1na2,n?1?an1， 它前面的符号应为 ??1???n(n?1)?21?n(n?1)2???1? .

所以原行列式=??1?n?n?1?2n! .

2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项a12a23?an?1,nan1， 它前面的符号应为 ??1???23?n1????1?n?1 .

所以原行列式=??1?n?1n！.

3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a1,n?1a2,n?2?an?1,1ann， 它前面的符号应为 ??1????n?1?n?2???21n????1??n?1??n?2?2 .

所以原行列式=??1? 9．由行列式定义证明：

a1a2a3a4b1b2b3b4 c1c200d1d200e1e200?n?1??n?2?2n！.

a5b50?0 . 00

（行列式第3页）

解：行列式展开的一般项可表示为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，列标 j3j4j5只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至 少有一个要取3，4，5列中之一数，从而任何一个展开式中至少 要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0， 因此原行列式值为0. 10． 由行列式定义计算

2xx121x1?1 f?x?? .

32x1111x 中x4与x3的系数，并说明理由。

解：含有x4的展开项只能是a11a22a33a44，所以x4的系数为2； 同理，含有x3的展开项只能是a12a21a33a44，所以x3的系 数为-1. 11.由

11

?111?1????11?0 ?1 证明：奇偶排列各半.

证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1. 而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相 等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各 因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列

为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号.

所以，由带正号的项与带 负号的项数相等即说明奇偶 排列各半.

12．设

11xa1a2?x2a1a2?an?1222????xn?1a1a2n?1n?1 P?x??1?

?n?11an?1?an?1

（行列式第4页）