材料力学笔记(第八章)

材料力学（土）笔记

第八章 组合变形及连接部分的计算

1．概 述

工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形

若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形

对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系 分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形 利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况

以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大 则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理 工程实际中，经常需要将构件相互连接

铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件

连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小 在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性

采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力 然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算 这种简化计算的方法，称为工程实用计算法

2．两相互垂直平面内的弯曲 对于横截面具有对称轴的梁

当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线

碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况

这时梁分别在水平纵对称面（Oxz平面）和铅垂纵对称面（Oxy平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m上，由F1和F2引起的弯矩值依次为

My?F1x 和 Mz?F2(x?a)

梁的任一横截面m-m上任一点C(y,z)处与弯矩My和Mz相应的正应力分别为

?'?MyIy'''z 和 ???Mzy IzMzy IzC点处的正应力为 由叠加原理，在F1和F2同时作用下，截面m-m上

??????''MyIyz?式中Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩

My和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩

且其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致

在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入

然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号 为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置

由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标 则由上式可得中性轴方程

MyIy

z0?Mzy0?0 Iz

由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线 其与y轴的夹角为?，且

z0MzIyIytan?????tan?

y0MyIzIz式中，角度?是横截面上合成弯矩M?2My?Mz2的矢量与y轴间的夹角 一般情况下，由于截面的Iy?Iz，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直 而截面的挠度垂直于中性轴，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内 对于圆形、正方形等Iy?Iz，有???

由于梁各横截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般不相同

所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内 梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线

梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩计算 确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两条直线，分别与横截面周边相切于两点 该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点 对于工程中常用的矩形、工字型等截面梁

其横截面都有都有两个互相垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角 故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处

于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力之后 由于危险点处于单轴应力状态，可按正应力强度条件计算

横截面上的切应力，对于一般实体截面梁，其数值较小，可不必考虑

3．拉伸（压缩）与弯曲

3.1 横向力与轴向力共同作用

等直杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形 对于弯曲刚度EI较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小 因此，由轴向力在相应挠度上引起的弯矩可略去不计 可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力

按叠加原理求其代数和，即得在组合变形下，杆横截面上的正应力

?t,max??t??b?FNMmax? AW当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时

杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件 对于弯曲刚度EI较小的杆件，在压缩和弯曲组合变形下

轴向压力引起的附加弯矩较大，且其转向与横向力引起的弯矩相同 因此不能按杆的原始形状来计算，叠加原理也不再适用

3.2 偏心拉伸（压缩） 作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩 横截面具有两对称轴的等直杆承受矩截面形心为e（称为偏心距）的偏心拉力F为例 先将作用在杆端截面上A点处的拉力F向截面形心O1点简化 得到轴向拉力F和力偶矩Fe，将力偶矩分解为Mey和Mez

Mey?Fesin??FzF

Mez?Fecos??FyF

式中，坐标轴y、z为截面的两个对称轴yF、zF为偏心拉力F作用点（A点）的坐标

于是的得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系 此力系将分别使杆发生轴向拉伸和在两相互垂直的纵对称面内的纯弯曲 当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解

在上述力系作用下任一横截面n-n上的任一点C(y,z)处

相应于轴力FN?F和两个弯矩的正应力，由叠加原理，的C点处的正应力

??利用惯性矩与惯性半径间的关系

FFzF?zFyF?y ??AIyIz22，Iz?A?iz Iy?A?iy式子可改写为

??zzyyF(1?F2?F2) Aiyiz上式是一个平面方程，表明正应力在横截面上按线性规律变化

应力平面与横截面相交的直线（沿该直线??0）就是中性轴 令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，代入即得中性轴方程

1?zFyFz?y0?0 02iyiz2在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线

为定出中性轴的位置，可利用其在y、z两轴上的截距ay和az

在上式中，令z0?0，相应的y0即为截距ay，而令y0?0，相应的z0即为截距az 由此求得

2iyiz2ay??，az??

yFzFA在第一象限内，yF、zF都为正值，则ay、az均为负值

即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧

对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切 两切点即为横街面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点 将危险点的坐标代入公式即可求得最大拉应力和最大压应力

对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定 最大拉应力?t,max和最大压应力?c,max，其值为

?t,max??FFzFFyF? ????c,max?Wz?AWy式子对箱型、工字形等具有棱角的截面都适用

当外力的偏心距（yF、zF）较小时，中性轴可能不与横截面相交

即横截面就可能不出现与轴力异号的应力

由于危险点仍处于单轴应力状态，可按正应力的强度条件进行计算

3.3 截面核心

如前所述，当偏心轴向力F的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现异号应力 因此当偏心压力F的偏心距较小时，杆的横截面上可能不出现拉应力 外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远 当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域就称为截面核心

当外力作用在截面核心的边界上时

相对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系就可确定截面核心的边界 为确定任意形状截面的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线视作中性轴 在y和z形心主惯性轴上的截距分别为ay1和az1

可确定与该中性轴对应的外力作用点1

按上述方法求得与其对应的截面核心边界上的点2、3、…的坐标 连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界 该边界曲线所包围的带阴影线的区域，即为截面核心

圆截面对于圆心O时极对称的，因此，截面核心的边界对于圆心也是极对称的 为一圆心为O的圆

作一条与圆截面周边相切于A点的直线，将其视为中性轴

取OA为y轴，于是，该中性轴在y和z形心主惯性轴上的截距为

ay1?d/2， az1??

圆截面的iy?iz?d/16，将其代入公式即得与其对应的截面核心边界上点1的坐标

2iyiz2d2/16d?y1??????，?z1???0

ay1d/28az1从而可知，截面核心边界是一个以O为圆心，d/8为半径的圆

222

对于边长为b?h的矩形截面，两对称轴y和z为截面的形心主惯性轴 将与AB向切的直线①视作中性轴，其在y和z轴上的截距分别为，矩形截面

b2h22i?，iz?

12122y将上式代入，即得中性轴①对应的截面核心边界点上点1的坐标为

2iyiz2h2/12h?y1??????, ?z1???0

ay1h/26az1同理，分别将与矩形边界相切的直线②、③、④视作中性轴

可得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标 从而得到了截面核心边界上的4个点

当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时 将得到一系列通过边界点B但斜率不同的中性轴 而B点的坐标(yB,zB)是一系列中性轴共有的 将其代入中性轴方程，经改写后得

1?上式中，yB、zB为常数

zFyFzByBz?y?1?z?yF?0 BBF22iyiz2iyiz2因此该式就可看作时表示外力作用点坐标(yF,zF)间关系的直线方程

即当中性轴绕B点旋转时，

相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线

将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界 截面核心为位于截面中央的菱形

对于具有棱角的截面，均可按照上述方法确定其截面核心 对于周边有凹进部分的截面（例如槽型或T字型截面等） 在确定截面核心边界时，

应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然约横截面相交