北师大版八年级下册数学《平行四边形及其性质》知识点整理及重点题型梳理（提高）

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北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平行四边形及其性质（提高）

【学习目标】

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ． 【要点梳理】

知识点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点三、平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论

夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：

夹在两条平行线间的垂线段相等.

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【典型例题】

类型一、平行四边形的性质

1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC?的周长大8cm，求AB，BC的长．

【答案与解析】

解： ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO， ∵ □ABCD的周长是60．

∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，① 又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．

即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ② 由①②有

解得

∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．

【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题. 举一反三：

【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC

＝4.求AE：EF：FB的值.

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【答案】

解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB

∵CE为∠DCB的角平分线， ∴∠ECD＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠CEB， ∴BC＝BE

∵BC＝4，所以BE＝4

∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3 ∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2 ∴AE：EF：FB＝2：1：3.

2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．

【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长． 【答案与解析】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=CM，

∵△CDM的周长是40，

即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，

∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）． ∴平行四边形ABCD的周长为80cm．

【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 举一反三：

【变式】（2016?本溪）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC． （1）求证：OE=OF；

（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．

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【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，DC∥AB， ∴∠FDO=∠EBO， 在△FDO和△EBO中

??FDO＝?EBO?∵?OD?OB ??FOD??EOB?∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OE=OF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵EF⊥AC， ∴AE=CE，

∵△BEC的周长是10

∴BC+BE+CE=BC+AB=10，

∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．

3、（2015春?白云区期末）如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°． （1）求∠C的度数； （2）求AB和AD的长．

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