2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.2数列综合应用

∴Tn=b1+b2+?+bn

1111111111?(1???????)?(1?)??. 23352n?12n?122n?122?2n?1??Tn?1?Tn?

1111??［?］ 22?2n?3?22?2n?1??111??＞0,

2?2n?1?2?2n?3??2n?1??2n?3?∴Tn+1＞Tn，∴数列{Tn}为递增数列, ∴Tn的最小值为T1?

（四）数列求和的综合应用

〖例〗设数列?an?满足a1?a，an?1?can?1?c,n?N?,其中a,c为实数且c?0. （1）求数列?an?的通项公式；

111??. 263（2）设，，

，求数列?bn?的前n项和Sn；

（3）若0?an?1对任意n?N?成立，证明0?c?1

思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解?an?；（2）利用错位相减法求（3）利用反证法证明。 Sn；

解答：（1）方法一：由题意，an?1?1?c(an?1)，∴当a≠1时，

?an?1?是首项为a?1，公比为c的等比数列.∴an?1?(a?1)cn?1,即an?(a?1)cn?1?1.当

时，an?1仍满足上式。∴数列?an?的通项公式为an?(a?1)cn?1?1(n?N?)。

方法二：

a=1

由题设得，n?2时，an?1?c(an?1?1)?c2(an?2?1)???cn?1(a1?1)?(a?1)cn?1.?an?(a?1)cn?1?1.n?1时，a1?a也满足上式.??an?的通项公式为an?(a?1)cn?1?1(n?N?)（2）

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1由（1）得bn?n(1?a)cn?1?n()n,2111Sn?b1?b2?…?bn??2()2???n()n,22211111Sn?()2?2()3???(n?1)()n?n()n?1,22222111111?Sn??()2?()3???()n?n()n?1, 22222211111?Sn?1??()2?()3???()n?1?n()n2222211?2[1?()n]?n()n.221?Sn?2?(2?n)()n.2（3）由（1）知an?(a?1)cn?1?1。若0?(a?1)c∴0?cn?1?n?1?1?1，则0?(1?a)cn?1?1。∵0?a1?a?1，

1(n?N?)。由cn?1?0对任意(n?N?)成立，知c>0.下证c≤1.用反证法。 1?a11?a方法一：假设c>1.由函数f(x)=cx的函数图象知，当n趋于无穷大时，∴cn?1?cn?1趋于无穷大。不能对(n?N)恒成立，导致矛盾。∴c≤1, ∴o< c≤1.

?

注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用。

二、数列的综合应用

（一）等差、等比数列的综合问题 ※相关链接※

1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，

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前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；

2、利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。

※例题解析※

〖例1〗已知数列{an}为等差数列，且a1=1,{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3,7,13.求

(1)数列{an}，{bn}的通项公式； (2)数列{an+bn}的前n项和Sn.

解答：思路解析：根据已知条件设出等差数列的公差，等比数列的首项和公比，然后根据条件列出方程组求解，在解决第二问时可以考虑等差数列和等比数列分组求和.

(1)设{an}的公差为d,{bn}的首项为b1,公比为q, 根据已知条件可得

?a1?1?a?b?3?11?b1?2,d?2,q?2, ?a?b?72?2??a3?b3?13∴an=2n-1,bn=2n.

(2)由于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，所以数列{an+bn}的前n项和Sn可以表示为

2?1?2n?1?2n?1Sn=(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn) ?=n2+2n+1-2. n?21?2

〖例2〗（本小题满分12分）

在数列{an}中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1（n?2,q?0）． （Ⅰ）设bn?an?1?an（n?N*），证明{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n?N*，an是an?3与an?6的等差中项．

思路解析：（1）利用等比数列的定义证明； （2）利用{bn}的通项公式，累加法求an； （3）利用等差中项公式

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解答：（Ⅰ）证明：由题设

an?1?(1?q)an?qan?1（n?2）

，得

an?1?an?q(an?an?1)，即bn?qbn?1，n?2．

又

b1?a2?a1?1，q?0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

a2?a1?1， a3?a2?q，

??

2a?a?qn?1 n，（n?2）．

n?2a?a?1?q???qn1将以上各式相加，得（n?2）．

所以当n?2时，

?1?qn?1,?1?an??1?q?n,?q?1,q?1.

上式对n?1显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q?1时，显然

a3不是a6与a9的等差中项，故q?1．

522836a?a?a?aq?q?q?qq?1?1?qq?03693由可得，由得， ① 3整理得(q)?q?2?0，解得q??2或q?1（舍去）．于是q??2．

32333an?an?3另一方面，

qn?2?qn?1qn?13??(q?1)1?q1?q，

qn?1?qn?5qn?1an?6?an??(1?q6)1?q1?q ．

由①可得

an?an?3?an?6?an，n?N*．

*所以对任意的n?N，

an是an?3与an?6的等差中项．

（二）以等差数列为模型的实际应用 ※相关链接※

1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

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