衍射

光的衍射 习题解答

（本习题解答仅作参考）

第二章 光的衍射

1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

解：当用平面光照射圆孔时，第k个波带的半径，由：

k?Rk2?(11?) 平行光R=∞ rR解出为：Rk?kr0?

当：r0=1m、λ=450nm、k=1时，

第一半波带的半径：R1?1?1?450?10?9?0.67?10?3m?0.67mm

2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm。

解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：

2k?Rk/r0?，已知： r0=4m、λ=500nm、

圆孔的半径为：Rk? kr0??0.141k（1）当k为奇数时，P点的光强为最大值；

当k为偶数时，P点的光强为最小值；

（2）若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1， 将： k=1代入：Rk?0.141k 得到小孔直径：d1?0.282mm

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光的衍射 习题解答

3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m，求P点光强度I与没有光阑时的光强度I0的比值。

解：已知：r0=1m、R=1m、λ=500nm

半径为R1=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数k1：

R1211k1?(?)?1

?Rr0半径为R2=1mm的圆孔能露出的半波带数k2：

2R211k2?(?)?4

?Rr0也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为：

11A?a2?a3?a4?a2?a4?a1

22 光强度为：I?a12

没有光阑时，P点的光强度：I0=a12/4

得到：I ：I0 = 4 ：1

4 波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？

解：已知：r0=1m、Rk=2.76m、λ=632.8nm、R=∞

2（1）根据：k?Rk(1?1)

?Rr0解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3 因P点接受到奇数个半波带，则P点应为亮点。

（2）若使P点变成与（1）相反的情况，则k要取为偶数，即：k=2或4

当k=4时， r0?2Rk??750mm k?屏幕至少要向前移动：Δr0 =1m-0.75m=0.25m

2

光的衍射 习题解答

?2Rk??1505mm k?当k=2时， r0屏幕至少要向后前移动：Δr0 =1.5m-0.75m=0.5m 5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r1的不透明圆盘，第二波带是r1到r2的透明圆环，第三波带是r2到r3的不透明圆环，第四波带是r3到r4的透明圆环，第五波带是r4至无穷大的不透明区域。已知：r1：r2：r3：r4=1：2：3：4，用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m的轴上，试求：（1）r1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？

解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算

2rk公式为： k? ?r0已知：r1：r2：r3：r4=1:2:3:4

21第一波带遮住的波带数：k1?r ?r0第二波带露出的波带数：k222r22r1 ???r0?ro22r3r31第三波带遮住的波带数：k3? ??r0?r0221第四波带露出的波带数：k4?r4?4r

?r0?r0波带片遮住和露出波带数之比：k1:k2:k3:k4?1:2:3:4

若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：k1=1、k2=2、k3=3、k4=4， （1）将r0=1m、λ=500nm、 k=1代入：r1?k1?r0 解出： r1?0.07cm

（2）从：k1:k2:k3:k4?1:2:3:4看出，最亮的象点接受到第二、第四

2两个半波带，则光强度为：I?(a2?a4)2?4a1?16I0 （I0为光自由传

播时的强度。）

（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。

6 波长为λ的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波

3

光的衍射 习题解答 带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I：I0。

解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带 光强度为：I?(a1?a3?a5?...?a199)2?10000a12

用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，

则光强度为：I0?(a1?a2?a3?...?a200)2?40000a12 两种情况下的光强之比为：I:I0?1:4

7 平面光的波长为480nm，垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm，分别计算当缝的两边P点的位相差为π/2和π/6时，P点离焦点的距离。

解：缝两边的光传播到P点的光程差： ??dsin?

相位差：???2?dsin?

?从图中: sinθ≈tgθ=y/f＇ 得到：y= f＇sinθ 已知：λ=480cm、d=0.4mm、 f＇=60cm 当:????/2 ，由上式解得：sinθ1=0.003 P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.018cm 当:????/6 ，由上式解得：sinθ1=0.001

P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.006cm

8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。

1?解：单缝衍射图样中，次最大的位置：sin??（k?）

2b1?7?1某一波长的第三级次最大的位置：sin?3? （3?）1?2bb2b1?5?2600nm光波的第二级次最大位置：sin?2? （2?）2?22b因两个次最大的位置重合，有：sin?2?sin?3

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