大学物理答案第9章分解

9－18 一个球形雨滴半径为0.40 mm，带有电量1.6 pC，它表面的电势有多大？ 两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？

分析 取无穷远处为零电势参考点，半径为R 带电量为q 的带电球形雨滴表面电势为

V?1q

4πε0R当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，半径增大为32R，代入上式后可以求出两雨滴相遇合并后，雨滴表面的电势.

解 根据已知条件球形雨滴半径R1＝0.40 mm，带有电量q1＝1.6 pC，可以求得带电球形雨滴表面电势

V1?1q1?36V

4πε0R1当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，雨滴半径R2?32R1，带有电量 q2＝2q1 ，雨滴表面电势

V2?12q1?57V 34πε02R19－19 电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.

题 9-19 图

分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解 由“无限大” 均匀带电平板的电场强度?度的分布，

σi，叠加求得电场强2ε0?0 ?x??a????E??i ??a?x?a?

??0??0 ?x?a?电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

σ??a?x?a? x xε0?a0σ?x??a? V??E?dl??E?dl?a x-aε0V??E?dl??0V??xE?dl??aE?dl??电势变化曲线如图(b)所示.

a0?a ?x?a? ?09－20 两个同心球面的半径分别为R1 和R2 ，各自带有电荷Q1 和Q2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？

题 9-20 图

分析 通常可采用两种方法.

方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由Vp?

??pE?dl可求得电势分布.(2)

利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为

V?Q 4πε0rQ

4πε0R在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势

V?

其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布

?r?R1?E1?0 E2?E3?Q1?R1?r?R2? er 4πε0r2Q1?Q2?r?R2?er 4πε0r2由电势V???rE?dl 可求得各区域的电势分布.

V1??E1?dl??E2?dl??E3?dlrR1R2R1R2?当r≤R1 时，有

?11?Q1?Q2??RR??4πεR2?02?1Q1Q2??4πε0R14πε0R2?0?Q14πε0当R1 ≤r≤R2 时，有

V2??E2?dl??E3?dlrR2R2??11?Q1?Q2?r?R??4πεR

2?02?Q1Q2??4πε0r4πε0R2?Q14πε0当r≥R2 时，有

V3??E3?dl?r?Q1?Q2

4πε0r(2) 两个球面间的电势差

U12??E2?dl?R1R2Q1?11??? ???4πε0?R1R2?解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r≤R1 ，则

V1?Q1Q2?

4πε0R14πε0R2

若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2 ，则

V2?Q1Q2 ?4πε0r4πε0R2Q1?Q2

4πε0rQ1Q1 ?4πε0R14πε0R2若该点位于两个球面之外，即r≥R2 ，则

V3?(2) 两个球面间的电势差

U12??V1?V2?r?R2?9－21 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.

题 9-21 图

分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

?E?dS?1?0b??dV

V可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义

Va?Vb??E?r??dl

a并取棒表面为零电势(Vb ＝0)，即可得空间任意点a 的电势.

解 取高度为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理 当r≤R 时

E?2πrl?πr2lρ/ε0

ρr得 E?r??

2ε0当r≥R 时