第1章 1.3.2 极大值与极小值

1.3.2 极大值与极小值

1．会求函数的极大值与极小值．(重点) 2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)

3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 函数极大(小)值的概念 阅读教材P30上半部分，完成下列问题． 函数极大(小)值的概念

设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；

设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．

函数的极大值、极小值统称为函数的极值．

判断正误：

(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )

(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) 1

(3)函数f(x)＝x有极值．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理2 函数的极值与导数的关系 阅读教材P30下半部分，完成下列问题．

1

(1)极大值与导数之间的关系

x f′(x) f(x) x1左侧 f′(x)>0 增x1 f′(x)＝0 极大值f(x1) x1右侧 f′(x)<0 减 (2)极小值与导数之间的关系

x f′(x) f(x) x2左侧 f′(x)<0 减 x2 f′(x)＝0 极小值f(x2)

函数f(x)的定义域为开区间 (a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．

x2右侧 f′(x)>0 增

图1-3-2

【解析】 由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．

【答案】 1

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________

2

解惑：_______________________________________________

[小组合作型]

求函数的极值 求下列函数的极值． (1)f(x)＝x2－2x－1； x423x2

(2)f(x)＝4－3x＋2－6； (3)f(x)＝|x|.

【自主解答】 (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1. 因为当x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x＝1处有极小值， 且y极小值＝－2.

(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.

所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) (－∞，0) － 单调 f(x) 递减 极小值 递增 0 0 (0,1) ＋ 单调 无极值 递增 1 0 (1，＋∞) ＋ 单调 所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.

3

??x，x≥0，

(3)f(x)＝|x|＝?

??－x，x<0.

显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0， 函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x＝0时，函数取得极小值， 且y极小值＝0.

1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则． 2．极值点与导数的关系

(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．

点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： ①f′(x0)＝0；

②点x0两侧f′(x)的符号不同．

(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．

[再练一题]

1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________.

【导学号：01580013】

2

【解析】 ∵f′(x)＝2x－x，

4