备战高考数学一轮热点难点一网打尽：专题25 “形影不离”的三角与向量的综合问题答案解析

【备战高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 第25讲 “形影不离”的三角与向量的综合问题

考纲要求:

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 基础知识回顾:

1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝AB＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2. (3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(?±β)＝sin

?cos β ± cos

?sin β；cos(??β)＝cos ?cos β ± sin

?sin β

；

tan α±tan β

tan(?±β)＝.

1?tan αtan β

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2?＝2sin 2cos2?－1

＝1－2sin2?；tan 2?＝cos?)2.

4．辅助角公式：asinx?bcosx?a

. a2＋b2abc

5.正弦定理及变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．

sin Asin Bsin C

变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 6．余弦定理及变形：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．

b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.

2bc2ac2ab应用举例:

类型一、向量与三角函数相结合

?cos ?；cos 2?＝cos2?－sin2?＝

2tan?.1＋sin2?＝(sin?＋cos?)2,1－sin2?＝(sin?－21?tan?b

，cos?＝a2＋b2a2?b2sin(x??)，其中sin?＝

【例1】【2017江西新余三校联考】已知a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.

(1)把f(x)图象向右平移π

6个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；

(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值． 【答案】??－5π24＋kπ，7π24＋kπ??，k∈Z. 1017

. 【例2】【2017山东省枣庄八中高三月考】 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 【答案】见解析；α＝5π6，β＝π

6

.

【解析】(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.

(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以???cos α＋cos β＝0，

??

sin α＋sin β＝1.

由此得，cos α

＝cos (π－β)，

由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5ππ

6，β＝6. 点评：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

类型二、向量与解三角形相结合

【例3】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．

(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos(C?3B)取最大值时，B的大小． 2分析：(1)由p与q共线，可把向量关系转化为坐标关系得关于角A的三角关系式，从而求角A；(2)将三角关系式通过三角恒等变换转化为以角B为自变量的形如“y＝Asin(ωx＋φ)＋k”的标准形式，进而求解． 【答案】A＝60°.；B＝60°

3【解析】 (1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝，

4sinA＝

3， 2

∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.

180??B?A?3BC?3Bcos()cos()22 （2）y＝2sin2B＋＝2sin2B＋＝2sin2B＋

cos(2B－60°)

＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°

13

＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，

22函数取最大值2.

点评：向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单．

【例4】【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m?(23sin大小；(2)若a＝2，cosB＝

AAA,cos2)，n?(cos,?2)，m⊥n. (1)求角A的2223

，求b的长． 3

分析：先根据m⊥n，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，

然后利用正弦定理或余弦定理解题． π42

【答案】A＝.；b＝.

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方法、规律归纳:

1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：

第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；

第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系； 第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形； 第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答． 实战演练:

1．【2017贵州省贵阳市质检】设向量等于（ ）

，

，且

，则

（A）【答案】D

（B）

（C）

（D）

?2a?(sin?,)32．【2017广西南宁高三模拟】设向量，则cos 2α＝（ ） 2的模为2