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详解:2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题
(考试时间:2013年12月8日9:00-11:00 满分150分)
大罕(王方汉)
一、填空题:(每题10分) 1.已知a?12?712?7,b?12?71,则a3?a?b3?b= . 分析:结果式子是对称式,因此需要计算两数之和与两数之积.
a?b?+
2?7=
2?7?2?7(2?7)(2?7)=?141,a?b?=?, 33(2?7)(2?7)
∴a3?a?b3?b=(a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)=(a?b)[(a?b)2?3ab)?(a?b) =(?)[(?)2?3(?)]?(?)=?4343134364. 27
2.已知直线l1∥l2∥l3∥l4,直线m1∥m2∥m3∥m4,SABCD?100,SILKJ?20,则
SEFGH? .
分析:用割补法,把EHGF四条“边”上的三角形移到ABCD四个“角”上,它们的面积相等.
∵ SAFE=SJFE,SBEH=SIEH,
A m1 E I J F D G m2 m3 m4 B l1 l 2 l 3 SCHG=SLHG,SDFG=SKFG,
∴2SEFGH?SABCD+SILKJ=120, ∴
L K H SEFGH?60.
C l 4
3.已知∠A=90 °,AB=6,AC=8,E,F在AB上,且AE=2,BF=3,过E作AC的平行线交BC于D,FD的延长线交AC的延长线于G,则GF= .
分析:GF在直角三角形AFG中,AF的长已知,关键是求AG.图中有平行线,所以要用到平行线截得成比例线段定理.
A
DEAE4解:在△ABC中,∵ DE∥AC,∴=,而AC=8,?ACAC6E 216F ∴DE??8?, 33C B DEFE116在△AFG中,∵ DE∥AG,∴=,而DE?,?D AGFA33∴AG?3DG?16. 在Rt△AFG中,
AG?AF2?AG2=32?162?265.
G
1
4. 已知凸五边形的边长为a1,a2,a3,a4,a5,f(x)为二次三项式,当x?a1或者
x=a2+a3+a4+a5时,f(x)?5,当x?a1?a2时,f(x)?p,当x?a3?a4?a5时,f(x)?q,则p?q= .
分析:∵ f(x)为二次三项式,∴二次函数y?f(x)的图像是一条抛物线,
∵a1,a2,a3,a4,a5是(凸)五边形的边长,∴不妨把这条抛物线画成开口向上的,如图. 不妨设0?a1?a2+a3+a4+a5,依题有:f(a1)?f(a2+a3+a4+a5)(=5是没有作用的),
a?(a2?a3?a4?a5)这说明抛物线的对称轴是直线:x?1,
2a?a?a3?a4?a5(a?a2)?(a3?a4?a5)又∵x?12, ?122a?a?a3?a4?a5∴在x轴上,点a1?a2与点a3?a4?a5是关于对称轴x?12对称的两点,
2∴f(a1?a2)?f(a3?a4?a5),即p?q,
y x=(a1+a2+a3+a4+a5)/2 ∴p?q=0.
p(q)
a2+a3+a4+a5 x O a1
5. 已知一个三位数是35的倍数,且各个数位上的数字之和为15,则这个三位数是 .
分析:数字之和为15,这说明该三位数一定是3的倍数,又因为该数是35的位数,所以它一定是105的倍数,经检验735是唯一解.
6. 已知关于x的一元二次方程x2?ax?(m?1)(m?2)?0对于任意实数a都有实数根,则m的取值范围是 .
a2分析:原方程对于任意实数a都有实数根???a?4(m?1)(m?2)?0即(m?1)(m?2)?对
42于任意实数a都成立,注意到要求的是m的取值范围,而右边有最小值0,故只须
a2(m?1)(m?2)?()最小值?0,∴(m?1)(m?2)?0,∴?2?m??1.
4
2
7. 已知四边形ABCD的面积为2013,E为AD上一点,△BCE,△ABE,△CDE的重心分别是G1,G2,G3,那么△G1G2G3的面积为
分析:三角形三条中线的交点称为重心.重心的基本性质是:重心到一边中点的连线长等于
1所在中线的.据此,
31过点G1作BC的平行线,交BA于M,∵G1是△BCE的重心,∴BM=BA,
31过点G2作BC的平行线,交BA于N,∵G2是△ABE的重心,∴NA=BA,
31过点G2作BA的平行线,交AD于P,∵G2是△ABE的重心,∴AP=AE,
31过点G3作BA的平行线,交AD于Q,∵G2是△CDE的重心,∴DQ=DE,
32221∴PQ?PE?EQ?AE?ED?AD,而△G1G2G3的G2G3边上的高=AB,
33332122671∴△G1G2G3的面积=AD?AB=四边形ABCD的面积=?2013?.
39933 B G2
G1
bA B M N G2
A P
G1bE
G3 D
C G3 C
E Q D
8.直角三角形斜边AB上的高CD=3,延长DC到P,使得CP=2,过B作BF⊥AP,交CD于E,交AP于F,则DE= .
分析:本题涉及到直角三角形斜边上的高,就要考虑射影定理,即,直角边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;
A 本题涉及到两个角的两边分别垂直,就要考虑到这两个角相
等;
D 既然有角相等,就要考虑相似三角形.
∵∠DBE=∠P,∠DBE =∠PAD,∴△ADP∽△EDB,
F
DEBD∴, ?E ADPDAD?BDCD29∴DE???.
PDPD5B
C
3
P
二、解答题:(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分)
1119.已知∠BAC=90°,四边形ADEF是正方形且边长为1,求++的最大值.
ABACBC分析:本题需从结论入手,如果按常规通分,那是死路一条.于是考虑用特殊变形.注意到正方形边长为1,即DE=EF=1,代入到前两项的分子中,就成为比例式.不妨一试: 1EFDE111CEBE11++=++=++=1+, ABACBCABACBCBCBCBCBC111因此,欲求++的最大值只需求BC的最小值.
ABACBC而BC2?AB2?AC2=?(1?BD)2?(1?FC)2?BD2?FC2?2(BD?FC)?2 这里需要用基本不等式a2?b2?2ab和a?b?2ab(a,b?0)吗? 试一试:
BD2?FC2?2BD?FC(等号当且仅当BD?FC取得),
BD?FC?2BD?FC(等号当且仅当BD?FC取得),
等号取得的条件是一致的!只需要证实BD?FC是常数即可. 考查含有BD和FC的两个三角形,即△BDE和△EFC,它们是
B
D E
相似的!
于是,∵△BDE∽△EFC,∴∴BD?FC?DE?EF?1,
∴BC2?BD2?FC2?2(BD?FC)?2?2BD?FC+4BD?FC?2=8, ∴ BC?22,
当且仅当BD?FC时等号成立,此时大值是1?2. 412111111++,++的最?1??1?4ABACBCABACBC22BDEF, ?DEFCA F
C
10.已知是不为0的实数,求解方程组:
x?(1)xy??a??y ?y1?sy??(2)?xa?yxy2?x211分析:可考虑两式相减,得:??a?,∴?a?似乎越走越远.
xyaxya可考虑两式直接相乘,仍然得不到有益结果.将两式化成如下形式:
?xy?a?????xy?1??a?x(3)y y(4)x再将两式相乘,得x2y2?xy(a?)?1?1,注意到xy?0, 立即可得:xy?a?乘胜前进:
1???xy?a?a2?1a2?1????x?x??由?x1a可得?,或?. aa????22y?a?1y??a?1?ya???
4
1ax11,代入(1)得:?,∴这是很漂亮的结果!
yaa11.已知n?1,a1,a2,a3,?,an为整数且a1+a2+a3+?+an=a1a2a3?an=2013,求n的最小值. 分析:既然n?1且a1,a2,a3,?,an为整数,那么我们就从n?2,3,4试起,没有发现适合的.当n?5时,取a1=a2=-1,a3=a4=1,a5?2013,
则有 a1+a2+a3+a4+a5=-1+(-1)+1+1+2013=2013,
(-1) ×1×1×2013=2013, a1a2a3a4a5=(-1)×
以下证明n?4时没有适合条件的.不妨设a1≤a2≤a3≤?≤an, 分两种情况:
⑴当a1,a2,a3,?,an均为正整数时:
由a1a2a3?an=2013知,a1,a2,a3,?,an均为2013的正约数,注意到2013=3×11×61,欲a1+a2+a3+?+an=2013且n?4,则an≥671,所以an=671或2013,经验算,n=2,3,4均不可能;
⑵当a1,a2,a3,?,an中有负整数时:
由a1a2a3?an=2013且n?4可知,其中有且只有两个负数,即a1≤a2<0.
若n=4时,且a4= 2013,则2013=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a3+2013,所以a3= -(a1+a2) 这时2013的正约数a3是另外两个负约数的和的绝对值,经检验是不可能的; 若n=4,且a4<2013,即0 若n?3,则由a1≤a2<0和a1+a2+a3=2013知,a3≥2013,这时2013的正约数a3是另外两个负约数的和的绝对值,经检验是不可能的; 若n?2,由a1≤a2<0知a1+a2≤0<2013,也是不合要求的. 综上可知,n的最小值为5. 12.已知正整数a,b,c,d满足a2?c(d?13),b2?c(d?13),求所有满足条件的d的值. 分析:设(a,b)??,则a???m,b???n,所以(m,n)?1, d?13m2d?13将题设两个等式相除,得2?,于是有2?, d?13d?13bn2?(1)?d?13?km又设? , 2(2)?d?13?kn?⑴-⑵得:k(m?n)(m?n)?2?13, a2由于m?n与m?n同奇偶,若m?n、m?n同为偶数,则k(m?n)(m?n)是4的倍数,不可能为26,所以m?n、m?n同为奇数且k?2, 因此m?n=13,m?n=1,得到m?7,n?6, 代入⑴,得d?13?2?72,所以d?85,且为唯一解. 5
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