详解：2013年上海市新知杯试题

详解：2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题

（考试时间：2013年12月8日9：00-11：00 满分150分）

大罕(王方汉)

一、填空题：（每题10分） 1.已知a?12?712?7,b?12?71，则a3?a?b3?b= . 分析：结果式子是对称式，因此需要计算两数之和与两数之积．

a?b?+

2?7=

2?7?2?7(2?7)(2?7)=?141，a?b?=?， 33(2?7)(2?7)

∴a3?a?b3?b=(a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)=(a?b)[(a?b)2?3ab)?(a?b) =(?)[(?)2?3(?)]?(?)=?4343134364. 27

2.已知直线l1∥l2∥l3∥l4，直线m1∥m2∥m3∥m4，SABCD?100，SILKJ?20，则

SEFGH? .

分析：用割补法，把EHGF四条“边”上的三角形移到ABCD四个“角”上，它们的面积相等．

∵ SAFE=SJFE，SBEH=SIEH，

A m1 E I J F D G m2 m3 m4 B l1 l 2 l 3 SCHG=SLHG，SDFG=SKFG，

∴2SEFGH?SABCD+SILKJ=120， ∴

L K H SEFGH?60.

C l 4

3.已知∠A＝90 °，AB=6，AC=8，E,F在AB上，且AE=2，BF=3，过E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则GF= .

分析：GF在直角三角形AFG中，AF的长已知，关键是求AG．图中有平行线，所以要用到平行线截得成比例线段定理．

A

DEAE4解：在△ABC中，∵ DE∥AC，∴=，而AC=8，?ACAC6E 216F ∴DE??8?, 33C B DEFE116在△AFG中，∵ DE∥AG，∴=，而DE?，?D AGFA33∴AG?3DG?16. 在Rt△AFG中，

AG?AF2?AG2=32?162?265.

G

1

4. 已知凸五边形的边长为a1,a2,a3,a4,a5，f(x)为二次三项式，当x?a1或者

x=a2+a3+a4+a5时，f(x)?5，当x?a1?a2时，f(x)?p，当x?a3?a4?a5时，f(x)?q，则p?q= .

分析：∵ f(x)为二次三项式，∴二次函数y?f(x)的图像是一条抛物线，

∵a1,a2,a3,a4,a5是（凸）五边形的边长，∴不妨把这条抛物线画成开口向上的，如图． 不妨设0?a1?a2+a3+a4+a5，依题有：f(a1)?f(a2+a3+a4+a5)（=5是没有作用的），

a?(a2?a3?a4?a5)这说明抛物线的对称轴是直线：x?1,

2a?a?a3?a4?a5(a?a2)?(a3?a4?a5)又∵x?12， ?122a?a?a3?a4?a5∴在x轴上，点a1?a2与点a3?a4?a5是关于对称轴x?12对称的两点，

2∴f(a1?a2)?f(a3?a4?a5)，即p?q，

y x=(a1+a2+a3+a4+a5)/2 ∴p?q=0．

p(q)

a2+a3+a4+a5 x O a1

5. 已知一个三位数是35的倍数，且各个数位上的数字之和为15，则这个三位数是 .

分析：数字之和为15，这说明该三位数一定是3的倍数，又因为该数是35的位数，所以它一定是105的倍数，经检验735是唯一解．

6. 已知关于x的一元二次方程x2?ax?(m?1)(m?2)?0对于任意实数a都有实数根，则m的取值范围是 .

a2分析:原方程对于任意实数a都有实数根???a?4(m?1)(m?2)?0即(m?1)(m?2)?对

42于任意实数a都成立，注意到要求的是m的取值范围，而右边有最小值0，故只须

a2(m?1)(m?2)?()最小值?0，∴(m?1)(m?2)?0，∴?2?m??1．

4

2

7. 已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，△BCE,△ABE,△CDE的重心分别是G1,G2,G3，那么△G1G2G3的面积为

分析：三角形三条中线的交点称为重心．重心的基本性质是：重心到一边中点的连线长等于

1所在中线的．据此，

31过点G1作BC的平行线，交BA于M，∵G1是△BCE的重心，∴BM=BA，

31过点G2作BC的平行线，交BA于N，∵G2是△ABE的重心，∴NA=BA，

31过点G2作BA的平行线，交AD于P，∵G2是△ABE的重心，∴AP=AE，

31过点G3作BA的平行线，交AD于Q，∵G2是△CDE的重心，∴DQ=DE，

32221∴PQ?PE?EQ?AE?ED?AD，而△G1G2G3的G2G3边上的高=AB,

33332122671∴△G1G2G3的面积=AD?AB=四边形ABCD的面积=?2013?.

39933 B G2

G1

bA B M N G2

A P

G1bE

G3 D

C G3 C

E Q D

8.直角三角形斜边AB上的高CD=3，延长DC到P，使得CP=2，过B作BF⊥AP，交CD于E，交AP于F，则DE= .

分析：本题涉及到直角三角形斜边上的高，就要考虑射影定理，即，直角边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；

A 本题涉及到两个角的两边分别垂直，就要考虑到这两个角相

等；

D 既然有角相等，就要考虑相似三角形．

∵∠DBE=∠P，∠DBE =∠PAD，∴△ADP∽△EDB，

F

DEBD∴， ?E ADPDAD?BDCD29∴DE???．

PDPD5B

C

3

P

二、解答题：（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）

1119．已知∠BAC=90°，四边形ADEF是正方形且边长为1，求++的最大值．

ABACBC分析：本题需从结论入手，如果按常规通分，那是死路一条．于是考虑用特殊变形．注意到正方形边长为1，即DE=EF=1，代入到前两项的分子中，就成为比例式．不妨一试： 1EFDE111CEBE11++=++=++=1+， ABACBCABACBCBCBCBCBC111因此，欲求++的最大值只需求BC的最小值．

ABACBC而BC2?AB2?AC2=?(1?BD)2?(1?FC)2?BD2?FC2?2(BD?FC)?2 这里需要用基本不等式a2?b2?2ab和a?b?2ab(a,b?0)吗？ 试一试：

BD2?FC2?2BD?FC(等号当且仅当BD?FC取得)，

BD?FC?2BD?FC(等号当且仅当BD?FC取得)，

等号取得的条件是一致的！只需要证实BD?FC是常数即可． 考查含有BD和FC的两个三角形，即△BDE和△EFC，它们是

B

D E

相似的！

于是，∵△BDE∽△EFC，∴∴BD?FC?DE?EF?1，

∴BC2?BD2?FC2?2(BD?FC)?2?2BD?FC+4BD?FC?2=8， ∴ BC?22，

当且仅当BD?FC时等号成立，此时大值是1?2． 412111111++，++的最?1??1?4ABACBCABACBC22BDEF， ?DEFCA F

C

10.已知是不为0的实数,求解方程组:

x?(1)xy??a??y ?y1?sy??(2)?xa?yxy2?x211分析：可考虑两式相减，得：??a?，∴?a?似乎越走越远．

xyaxya可考虑两式直接相乘，仍然得不到有益结果．将两式化成如下形式：

?xy?a?????xy?1??a?x(3)y y(4)x再将两式相乘，得x2y2?xy(a?)?1?1，注意到xy?0， 立即可得：xy?a?乘胜前进：

1???xy?a?a2?1a2?1????x?x??由?x1a可得?，或?． aa????22y?a?1y??a?1?ya???

4

1ax11，代入（1）得：?，∴这是很漂亮的结果！

yaa11．已知n?1，a1,a2,a3,?,an为整数且a1+a2+a3+?+an=a1a2a3?an=2013，求n的最小值． 分析：既然n?1且a1,a2,a3,?,an为整数，那么我们就从n?2,3,4试起，没有发现适合的．当n?5时，取a1=a2=-1,a3=a4=1,a5?2013，

则有 a1+a2+a3+a4+a5=-1+(-1)+1+1+2013=2013,

(-1) ×1×1×2013=2013, a1a2a3a4a5=（-1）×

以下证明n?4时没有适合条件的．不妨设a1≤a2≤a3≤?≤an, 分两种情况：

⑴当a1,a2,a3,?,an均为正整数时：

由a1a2a3?an=2013知，a1,a2,a3,?,an均为2013的正约数，注意到2013=3×11×61，欲a1+a2+a3+?+an=2013且n?4，则an≥671，所以an=671或2013，经验算，n=2,3,4均不可能；

⑵当a1,a2,a3,?,an中有负整数时：

由a1a2a3?an=2013且n?4可知，其中有且只有两个负数，即a1≤a2<0．

若n=4时，且a4= 2013，则2013=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a3+2013，所以a3= -(a1+a2) 这时2013的正约数a3是另外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的； 若n=4，且a4<2013，即0

若n?3，则由a1≤a2<0和a1+a2+a3=2013知，a3≥2013，这时2013的正约数a3是另外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的；

若n?2，由a1≤a2<0知a1+a2≤0<2013，也是不合要求的． 综上可知，n的最小值为5．

12．已知正整数a,b,c,d满足a2?c(d?13)，b2?c(d?13)，求所有满足条件的d的值． 分析：设(a,b)??，则a???m，b???n，所以(m,n)?1，

d?13m2d?13将题设两个等式相除，得2?，于是有2?，

d?13d?13bn2?(1)?d?13?km又设? ， 2(2)?d?13?kn?⑴-⑵得：k(m?n)(m?n)?2?13，

a2由于m?n与m?n同奇偶，若m?n、m?n同为偶数，则k(m?n)(m?n)是4的倍数，不可能为26，所以m?n、m?n同为奇数且k?2， 因此m?n=13，m?n=1，得到m?7，n?6，

代入⑴，得d?13?2?72，所以d?85，且为唯一解．

5