(完整word版)新人教版九年级数学(上)——圆的概念与垂径定理

圆的概念与垂径定理

知识点一、圆的定义 1、圆的第一定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O．

2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．

3．圆的第二定义： 由圆的定义可知：

(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

(2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

1“圆”指的是“圆周” 注意：由圆的概念可知：○，即一条封闭的曲线，而不是圆面。 2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。 ○

例题1：下列说法错误的有（ ）

1经过P点的圆有无数个； ○

2以P为圆心的圆有无数个； ○

3半径为3cm且经过P点的圆有无数个； ○

4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。 ○

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

知识点二、圆的有关概念 1．弦：

连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．

AC， 2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作? 读作圆弧AC或弧AC ．

3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

ABC叫做优弧） 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示??叫做劣弧． AC或BC 小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）?

5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。

BOAC 例题2：下列命题中，正确的个数是（ ）。 1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆； ○3过圆心的直线是直径； ○4半圆不是弧。 ○ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例题3：下列几个命题中，正确的是（ ） A．两条弧的长度相等，那么他们是等弧 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等 巩固练习．

如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．

综合讲练．

讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD；

(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

讲练2：如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．

知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）

1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身． ②圆有无数条对称轴．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

用符号语言描述：

∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M，

AC∴AM＝BM，??，??． ?BCAD?BD

你能试着证明吗？

说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；

②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾

股定理结合使用，

222

即：（弦的一半）＋（圆心到弦的距离）＝（半径）．

例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A．MP与RN的大小关系不定 B.MP=RN C.MP＜RN D.MP＞RN