第一讲 平面向量的概念及线性运算

2014-2015学年高三数学补习班学案 第五章 平面向量 编号： 编制人：

第一讲 平面向量的概念及线性运算

一、高考要求

1．平面向量的实际背景及基本概念

（1）了解向量的实际背景 （2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 （3）理解向量的几何表示. 2．向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.

二、知识要点

1、向量有关概念：

（1）向量的概念： （2）零向量： （3）单位向量： （4）相等向量：

（5）平行向量（也叫共线向量）： （6）相反向量： 2、向量的加法和减法： （1）向量加法：

①三角形法则： ②平行四边形法则：

（2）向量的减法：

3、实数与向量的积：

4、向量的加法和减法与实数与向量的积的运算律：

（1）a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)；a＋0＝0＋a＝a. （2）设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 5、两个向量共线定理：

推论：A,B,C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任一点，点C在直线AB上 ?

注意：当C为AB中点? 6、平面向量的基本定理：

三、典型例题

题型一：平面向量的概念 例1、下列命题：①若?

a??b，则?a??b； ②若λa＝λb，则a＝b； ③若???AB?????DC?，则ABCD是平行四边形；

④若ABCD是平行四边形，则???AB?????DC?； ⑤AB→＋BA→

＝0；

⑥两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； ⑦若?a??b,?b??c，则?a?⑧若?a//?b,?b//?c，则?a//??c；

c；⑨若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a、b之一的方向相同；⑩|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b方向相同； ○11向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 其中正确的是例2、若非零向量?a,b?_______________.

使得|?a?b?|?||?a|?|b?||成立的一个充分非必要条件是（ ）

A．???a?b???0 B．?a?b? C．ab??|?a|?|?b| D．a//b

题型二：向量的加 、减法 例3、

（1）化简：①???AB?????BC?????CD??_____；②???AB?????AD?????DC??_____????????????????（2）若正方形ABCD的边长为1，???AB???a,???BC???b,???AC?；③(AB?CD)?(AC?BD)?____.

??c，则|?a??b??c|＝___________

（3）(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→

＝( )．

A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→

（4）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→

|，则△ABC的形状为______．

（5）已知ΔABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→

成立，则m＝____. 题型三：平面向量的基本定理及其线性运算例4、(2013·广东)设?a是已知的平面向量且?

a??? ①给定向量?b,总存在向量?c，使?a??b??0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

c；b?

??②给定向量?和?c,总存在实数?和?，使a?③给定向量??b??c；b?

a??b??和正数?，总存在单位向量?c与实数?,使???c?.

和?，总存在单位向量?b和单位向量?c?④给定正数?上述命题中的向量?,使a??b??c.

b、?c和?a，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

例5、在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→

＝b，试用a，b表示AG→.

2014-2015学年高三数学补习班学案 第五章 平面向量 编号： 编制人：

变式1：如图所示，在△ABO中，→OC＝1→4OA，→OD＝1→2

OB，AD与BC相交于点M，设→OA＝a，→OB＝

b.试用a和b表示向量OM→

.

变式2：（2013·江苏）设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点,AD?12AB,BE?23BC,若DE??1AB??2AC (?1，?2为实数),则?1??2的值为__________.

变式3：(2014·临川模拟)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段 BA的延长线交于圆O外一点D，若OC→＝m OA→＋n→

OB，则m＋n的取值范围是( )． A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0) 题型四：共线向量定理的应用

例6、设两个非零向量a与b不共线．

(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→

＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

变式：已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→

＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )．

A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1

例7、若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，1

3

(a＋b)三向量

的终点在同一条直线上？

例8、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直

线AB，AC于不同的两点M，N，若???AB??mAM?????，???AC??nAN????，则

m?n的值为 ．

四、课堂练习

1.(2011·山东)设AA→→→

1，A2，A3，4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4＝

μA→

，且1λ＋11A2(μ∈R)μ

＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则

下列说法正确的是( )．

A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点

C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段2.（2013·安徽）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足???ABOA?的延长线上

????OB?????OA?????OB??2,则点集?P|???OP??????OA??????OB?,????1,?,??R?所表示的区域的面积是（ ）

A．22 B．23 C．42 D．43 3.设G是?ABC的重心且(56sinA)GA?(40sinB)GB?(35sinC)GC?0，则?B? . 4. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点． （1）求GA→＋GB→＋GO→

；

（2）若PQ过△ABO的重心G，且，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→

＝nb，求证：11m＋n

＝3.