2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及参考答案

设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．

uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取n?(3(a?4),3a,?a)，

??ax?(4?a)y?0uuur所以cosOB,n?23(a?4)23(a?4)?3a?a222．

uuur3由已知可得|cosOB,n|?．

2所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34．解得a??4（舍去），a?． 23所以n?(?83434,,?)． 333uuuruuur3又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?．

4所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．解：

3． 4（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x2?1)e?x?1?0．

设函数g(x)?(x2?1)e?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x． 当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?ax2e?x．

f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．

（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．

当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增．

故h(2)?1?4a是h(x)在[0,??)的最小值． e22e①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

42e②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

42e③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

433316a16a16a1x2h(4a)?1??1??1??1??0． x?01由（）知，当时，e?x，所以

e4a(e2a)2(2a)4a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

2e综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

422．解：

x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①

t2，因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，

则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??k?tan???2．

4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率

1?3cos2?23．解：

?2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．