2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及参考答案

P

ABOMC21．（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ，xOyC在直角坐标系中，曲线的参数方程为?y?4sinθ（θ为参数），直线l?的

参数方程为

?x?1?tcosα，?（ty?2?tsinα?为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若f(x)?1，求a的取值范围．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．B

2．A 8．C

3．B 9．C

4．B 10．A

5．A 11．C

6．A 12．D

二、填空题 13．y?2x 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15． 由a1??7得d=2．

所以{an}的通项公式为an?2n?9． （2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

???30.4?13.5?19?226.1(亿元)． y 14．9 15．?

1216．402π

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元)． y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律

??99?17.5t可呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)， 由??y?k(x?1),2?y?4x得k2x2?(2k2?4)x?k2?0．

2k2?4??16k?16?0，故x1?x2?． 2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4由题设知2?8，解得k??1（舍去），k?1．

k因此l的方程为y?x?1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为

y?2??(x?3)，即y??x?5．

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y??6.y?2?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)2?(y?2)2?16或(x?11)2?(y?6)2?144． 20．解：

（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23． 连结OB．因为AB?BC?122AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 2且OB?AC，OB?AC?2． 由OP2?OB2?PB2知PO?OB． 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC．

uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标

系O?xyz．

uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取平面uuurPAC的法向量OB?(2,0,0)．

uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0)．