高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值 文

111?1?(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在?，2?上的值域为[，2]，则a＝________. ax2?2?2

答案 (1)2 (2)

5

1

解析 (1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；

x当x<1时，易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.

11?1?(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在?，2?上单调递增，

ax?2?1?1??f??2?＝2，

所以???

??f2＝2，

2

??

即?11??a－2＝2，

1

1－2＝，a2

2

解得a＝. 5

题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小

1

例4 已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则f(x1)________0，

1－xf(x2)________0.(判断大小关系)

答案 < >

解析 ∵函数f(x)＝log2x＋

1

在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， 1－x∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.

命题点2 解不等式

??1??例5 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f????

??x??

______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)

??1??解析 由f(x)为R上的减函数且f????

x????

1?????x?>1，得?????x≠0，

??|x|<1，

即?

?x≠0.?

∴－1

命题点3 求参数范围

9

例6 (1)如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是__________．

??2－ax＋1，x<1，

(2)已知f(x)＝?x??a，x≥1，

2

满足对任意x1≠x2，都有

fx1－fx2

>0成立，

x1－x2

那么a的取值范围是________． 3?1?答案 (1)?－，0? (2)[，2) 2?4?

解析 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1

当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，

a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11

所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.

a41

综合上述得－≤a≤0.

4

(2)由已知条件得f(x)为增函数， 2－a>0，??

∴?a>1，??2－a×1＋1≤a，

33

解得≤a<2，∴a的取值范围是[，2)．

22

思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

10

(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函

数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是__________． (2)若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝__________．

答案 (1)(8,9] (2)(0,1]

解析 (1)2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

2

ax＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是

x>0，??

所以有?x－8>0，

??xx－8≤9，

2

解得8

(2)由f(x)＝－x＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝1

在(－1，＋∞)上为减函数， x＋1

∴由g(x)＝故0

ax＋1

在[1,2]上是减函数可得a>0，

1．确定抽象函数单调性解函数不等式

典例 (14分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a＋a－5)<2.

11

2

思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)

(1)证明 设x1，x2∈R，且x10， ∵当x>0时，f(x)>1， ∴f(x2－x1)>1.[2分]

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分]

f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2

＋a－5)<2＝f(1)，[11分] ∵f(x)在R上为增函数，

∴a2

＋a－5<1?－3

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