24.1.2 - 垂直于弦的直径 - 同步测控优化训练（含答案）

思路解析：由垂径定理回答.

答案：OM=ON，AC=BC 弧AM=弧BM

3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.

思路解析：连结AO，得Rt△AOC，然后由勾股定理得出. 答案：13

4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.

图24-1-2-4

思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM⊥AB可得OM平分AB，即AM=解：连结OA. ∵OM⊥AB，

1AB.连结半径OA后可构造Rt△，利用勾股定理求解. 21AB. 21∵OA=×10=5，OM=4，

2∴AM=

∴AM=OA2?OM2=3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )

A.32 B.33 C.

3332 D. 22

图24-1-2-5 图24-1-2-6

思路解析：连结AB、BO，由题意知：AB=AO=OB，所以△AOB为等边三角形.AO垂直平分BC, 所以BC=2×答案：B

2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )

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33=33. 2A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm

思路解析：因为AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，连结OA，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A

3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.

思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.

解：(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图(1)所示. 作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA、OC. ∵AB∥CD，GH⊥AB， ∴GH⊥CD.

∵OG⊥AB，AB=12，

1AB=6. 21同理,CH=CD=8.

2∴AG=

∴Rt△AOG中，OG=OA2?AG2=8. Rt△COH中，OH=OC2?CH2=6. ∴GH=OG＋OH=14.

(2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如图(2)所示. GH=OG-OH=8-6=2.

4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？

图24-1-2-7

思路分析：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分别

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为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BC⊥AD于点C.解直角三角形即可.

解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BC⊥AD于点C.如图.

在Rt△ABC中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×=1.5（m）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m）. ∴BE=CD=2（m）.

答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.

5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.

12

图24-1-2-8

思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R米，则OF=（R－22）（米）. ∵OE⊥CD，∴CF=

11CD=×110=55（米）. 22根据勾股定理，得OC2=CF2＋OF2，即R2=552＋（R－22）2.

解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.5

6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.

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图24-1-2-9

(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.

思路分析：（1）作AB、AC的中垂线即得圆片圆心O；（2）已知BC和AB的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R；（3）根据半径的值确定m、n的值. （1）作法：作AB、AC的垂直平分线，标出圆心O.

（2）解:连结AO交BC于E，再连结BO.∵AB=AC，∴AB=AC.∴AE⊥BC.∴BE=在Rt△ABE中，AE=

1BC=5. 2AB2?BE2=36?25=11.

1811（cm）.

在Rt△OBE中，R2=52＋（R-11）2，解得R=

（3）解:∵5＜∴5＜R＜6.

93=

1812＜

1811＜

189=6，

∵n＜R＜m，∴m=6，n=5.

7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.

思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.

解：如图，作OM⊥AB于M，连结OB，则BM=

11AB=×8=4. 22在Rt△OMB中，OMOB2?BM2=52?42=3.

当P与M重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.

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