2016-2017学年辽宁省实验中学、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

12．（5分）函数f（x）满足：对?x∈R都有f′（x）=f（x），且f（22016）≠0，

+

则A．0.125

的值为（ ） B．0.8 C．1

D．8

【解答】解：∵f′（x）=f（x）， ∴xf′（x）﹣3f（x）=0， 设g（x）=∴g′（x）=

∴g（x）=c，（c常数）， ∴f（x）=cx3， ∴故选：D

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为

．

【解答】解：∵x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，即（x+y）2+2π）． 令x+y=则z=x+y=

cosα，cosα∈

y=

sinα，

．

．

．

=6，α∈[0，

=

=23=8，

，

=

=0，

∴z=x+y的取值范围为故答案为：

14．（5分）现有四个函数：①y=x?sinx，②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排

第13页（共24页）

列是 ①④②③

【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象

②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．

故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③ 故答案为：①④②③

15．（5分）圆x2+y2=1的切线与椭圆

+

=1交于两点A，B，分别以A，B为

切点的+=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 ．

【解答】解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2）， 则1+k2=b2，

椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12， 则PA，PB的交点的纵坐标yp=

…代入3x1x+4y1y=12

得PA，PB的交点的横坐标xp=；

即点P的参数方程为﹣，

利用1+k2=b2消去k、b得

，

第14页（共24页）

故答案为：

．

16．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤为f（x）的图象的对称中心，x=单调，则ω的最大值为 5 ． 【解答】解：由（﹣n∈Z， x=∴ω?

为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴， +φ=n′π+

，n′∈Z， =（n′﹣n）π+，

=kπ+

），若（﹣

，

，0））

为f（x）的极值点，且f（x）在（

，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（﹣）+φ=nπ，

∴相减可得ω?f（x）在（∴

，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，

，且ω?

+φ≤2π+

，

）单调，ω×+φ≥2kπ+

ωπ≤π，ω≤8，

）+φ=nπ，|φ|≤

，

当ω=7时，7（﹣∴φ=﹣

，

∴f（x）=sin（7x﹣当ω=5时，5（﹣φ=

，

）在（，）不单调，不满足题意， ，

）+φ=nπ，|φ|≤

f（x）=sin（5x+）在（，）单调，满足题意，

∴ω的最大值为5． 故答案为：5．

三、解答题

17．（12分）已知各项为正数的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＞1，6Sn=（an+1）（an+2）（n∈N*）

第15页（共24页）

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：

+

+…+

＜．

【解答】解：（1）∵6Sn=（an+1）（an+2）=an2+3an+2， ∴6Sn﹣1=（an﹣1+1）（an﹣1+2）=an﹣12+3an﹣1+2， ∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0， ∵an＞0，∴an﹣an﹣1=3， ∴{an}为等差数列，

∵6S1=（a1+1）（a1+2）=a12+3a1+2， ∴a1=2，或a1=1 ∵a1＞1，∴a1=2， ∴an=3n﹣1， （2）

=

=（

﹣

），

∴＜

++…+=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）

18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现处足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2016年8月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数

[0，（50，（100，（150，第16页（共24页）