线性代数第五章5.1,5.2作业

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第五章 线性方程组解的结构与向量空间 练习5.1齐次线性方程组的解的结构

一、填空题

1.齐次线性方程组An?nX?0有非零解的充分必要条件是 ． 2.当 时，齐次线性方程组An?nX?0只有零解；

3.齐次线性方程组Am?nX?0的基础解系中的解向量一定是线性 的； 4.设A为n阶方阵，若R(A)?n?2，则AX?0的基础解系所含向量的个数是 ；

?ax1?x2?x3?0?5.齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0有非零解的充分必要条件是常数a? .

?2x?x?x?023?1?x1?x2?x3?x4?0?二、求齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4?0的基础解系及通解．

?x?x?2x?2x?0234?1?x1?x2?2x3?x4?0?三、求齐次线性方程组?2x1?x2?x3?x4?0的基础解系及通解.

?2x?2x?x?2x?0234?1?ax1?bx2?cx3?dx4?bx?ax?dx?cx?1234 四、证明:方程组??cx1?dx2?ax3?bx4??dx1?cx2?bx3?ax4a，b，c，d不全为零.

?0?0?0?0仅有零解的充分必要条件是:

?x1?x2?0五、设四元齐次线性方程组（I）为?,又已知某齐次线性方程组（II）的通

x?x?04?2解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,?1).

(1)求线性方程组（I）的基础解系；

（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

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练习5.2 非齐线性方程组

一、填空题

1.若?*非齐次线性方程组AX?b的解，?齐次线性方程组AX?0的解, 2?+?*必为方程组 的解；

2. 若x，y为非齐次线性方程组AX?b的特解，k1，k2为实数，要使k1x?k2y也为非齐次线性方程组AX?b的解，则k1?k2= ；

?x1?x2??a1?x?x?a?232

3.若方程组?有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件 ；

x?x??a43?3??x4?x1?a4

4.设A是n阶方阵，对于任何n维列向量b，方程Ax?b都有解的充要条件是 ； ?a11??x1??1???????5．设方程组?1a1??x2???1?有无穷多个解,则a? 。

?11a??x???2????3????2x1?x2?x3?x4?1?二、解非齐次线性方程组：?4x1?2x2?2x3?x4?2.

?2x?x?x?x?11234???x1?x2?x3?1?三、讨论?取何值时，方程组?x1??x2?x3?? 有唯一解?无解?有无穷多解?并求

?x?x??x??223?1有无穷多解时的通解。

?132???四、设A??3a2?，存在3?2阶非零实矩阵B，使得AB?0，求常数a。

?210???