微分方程1

x?1相切的积分曲线。 2211. 验证y1?coswx及y2?sinwx都是方程y???wy?0的解，并写出该方程的通解。

10.试求y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?12. 求下列微分方程的通解：

(1) y???y??2y?0； （2）y???4y??0 （3）y???y?0； （4）y???6y??13y?0；

d2xdx（5）42?20?25x?0； （6）y???4y??5y?0；

dtdt(4)(4)（7）y?y?0； （8）y?2y???y?0；

（9）y(4)?2y????y???0； （10）y(4)?5y???36y?0。

?6,y??2,y??10； ?0； ??5； ?15；

13求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???4y??3y?0,y（2）4y???4y??y?0,y（3）4y???3y??4y?0,yx?0x?0x?0x?0x?0?0,y?x?0（4）4y???4y??29y?0,y（5）y???25y?0,yx?0x?0?0,y?x?0x?0?2,y?x?0?5；

x?0（6）y???4y??13y?0,y2?0,y??3。

2x14. 求下列微分方程的通解：

(1) 2y???5y??5x?2x?1； （2）y???ay?e； （3）2y???5y??5x?2x?1； （4）y???3y??2y?3xe； （5）y???2y??5y?esinx； （6）y???6y??9y?(x?1)e； （7）y???5y??4y?3?2x； （8）y???4y?xcosx； （9）y???y?e?cosx； （10）y???y?sinx。 15求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???y?sin2x?0,y（2）y???3y??2y?5,y2xx??2xx3xx2?1,y?x???1；

x?0?1,y?x?0?2；

（3）y???10y??9y?e,y（4 ）y???y?4xe,y（5）y???4y??5,yx?0xx?0633?； ?,y?x?0x?077?0,y?x?0?1 ;

x?0?1,y??0。

xx16.设函数?(x)连续，且满足 求?(x)。

17.求以下各式所表示的函数为通解的微分方程：

?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt

00（x?C)?y?1（其中C为任意常数） （1）

22 17

（2）y?C1e?C2e（其中C1,C2,为任意常数）

x2x?dyy1y218.求微分方程的特解。 ??tan满足初始条件y(2)?2dx2x2yx19.设f(x)?sinx??x0etf(x?t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)。

3xt2xf()dt?e?f(x)，求f(x)。 ?03x21.设f(x)，g(x)满足f?(x)?g(x),g?(x)?2e?f(x),且f(0)?0,g(0)?2，求

20. 设函数f(x)连续，且满足

??0?g(x)f(x)???1?x(1?x)2?dx。 ??22. 设函数f(x)连续，且23. 设函数y(x)连续，

?x0f(t)dt?sinx??tf(x?t)dt，求f(x)。

02x?x1y(t)dt?2y(x)?x2?1??y(t)dt，求y(x)。

0124．求下列方程的通解：

3?y?2(x?2)（1）(x?2)dy????dx； （2）y??2y?sinx；

（3）eyy??1ye?x2； （4）y???5y??6y?ex； x（5）xy??y?2xy; (6) xy?lnx?y?ax(lnx?1); (7)

dyy2; (8) ;y???y??1?0; ?dx2(lny?x)2x(9) yy???y??1?0; （10）y???2y??5y?sin2x； （11）y????y???2y??x(e?4)

???内可导，且在?x?0处的增量?y?y(x??x)?y(x)满足 25．设y?y(x)在?0，y?x?? 4?x其中当?x?0时，?是?x的等价无穷小，又y(0)?2，求y(x)。

?y(1??y)?二、证明题

1． 已知方程y???p(x)y?q(x)y?0，求证

（1） 若p(x)y?xq(x)?0 ，则y=x是方程的各特解； （2） 若m?mp(x)?q(x)?0 ，则y?e2． 设p(x)在（a,b)连续，

2mx是方程的一个特解。

为任意常数，证明

?p(x)dx表示p(x)的某个函数，C

?p(x)dxy?Ce?是方程y??p(x)y?0的 所有解。

3设函数f(x) 是以w为周期的连续函数，证明：一阶线性方程 y??ky?f(x)

存在唯一的以w为周期的特解，并求出此特解，其中k为常数。

18

dy?2x dx

?dy??2x (1)?dx??y(1)?3 (2) 19