微分方程1

其根r1?r2??1是两个相等的实根，因此所求通解为

（C1?C2t)e s?将条件st?0?t?4代入通解，得C1?4，从而

?t?t（4?C2t)e s?将上式对t求导，得s??(C2?4?C2t)e 再把条件s?t?0??2代入上式，得C2?2，于是所求特解为

?t s?（4?2t)e 例3.

求微分方程y???2y??5y?0的通解

2 解：所给微分方程的特征方程为

r?5r?5?0，

其中r1?r2?1?2i为一对共轭复根，因此所求通解为 y?e(C1cos2x?C2sin2x)

x七、常系数非齐次线性微分方程

（一）、f(x)?e?xPm(x)型

(1)先解对应的齐次方程r?pr?q?0，设求出的通解为

2y?C1y1(x)?C2y2(x) (C1，C2为任意常数)。

（2）求非齐次方程的y???p(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解，为此设特解为y(x) 当f(x)?ePm(x)（Pm(x)是x的m次的多项式，Pm(x)?a0x?a1x是方程的重根时，k=2。 例1.

求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解

?x??xmm?1??am）则

?xy?(x)?xkQ（，其中当?不是特征根时，k=0；当?是方程的特征单根时，k=1；当?mx)e解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是ePm(x)型（其中

Pm(x)?3x?1,??）0

与所给方程对应的齐次方程为

y???2y??3y?0 它的特征方程为r?2r?3?0

由于这里??0不是特征方程的根，所以应设特解为y(x)?b0x?b1 把它代入所给方程为?3b0x?2b0?3b1?3x?1， 比较两端x同幂次的系数，得?3b0?3，?2b0?3b1?1

?211?，于是求得一个特解为y(x)??x? 332x例2 求微分方程y???5y??6y?xe的通解

因此求得b0??1,b1? 解：所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是ePm(x)型（其中

?x,?）2 Pm(x)?x?与所给方程对应的齐次方程为

13

y???5y??6y?0， 它的特征方程为r?5r?6?0

有两个实根r1?2,r2?3，于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y?C1e2x2?C2e3x

由于??2是特征方程的单根，所以应设y(x)为

?y?(x)?x(b0x?b1)e2x

把它代入方程得

?2b0x?2b0?b1?x

比较等式两端同次幂的系数，得?2b0?1,2b0?b1?0 解得b0??1，b1??1。因此求得一个特解为 2? y(x)?x(?从而所求的通解为

1x?1)e2x 21?C2e3x?(x2?2x)e2x

2?x(1)(2)（二）、f(x)?e??Pl（x)coswx?Pn（x)sinwx??型

y?C1e2x如果f(x)?e的特解可设为

?x(1)(2)??Pl（x)coswx?Pn（x)sinwx??，则二阶常系数非齐次线性微分方程

(1)(2)y??xke?x??Rm（x)coswx?Rm（x)sinwx??

其中Rm（x)和Rm（x)是m次多项式，m?max?l,n?，而k按??iw不（或?-iw）(1)(2)是特征方程的跟，或是特征方程的单根依次取0或1。

例3求微分方程y???y?xcos2x的一个特解

解：所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是属于

(1)(2)(1)(2)?e?x?P（x)coswx?P（x)sinwx??0,w?2,P（x)?x,P（x)?0）型，其中（ lnln??与所给方程对应的齐次方程为

y???y?0 它的特征方程为

r?1?0，

由于这里??iw不是特征方程的跟，所以应设特解为

2（ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x y?把它代入所给方程，得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcosx 比较两端同类项的系数，得a??,b?0,c?0,d??134 914sin2x

39x 例4. 求微分方程y???y?ecos2x的一个特解

于是求得一个特解为y??cos2x?? 14

解:所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是属于 e?x(1)(2)?P（x)cowxs?P（x)swxin?n?l?型，其中

（??1,w?2,Pl（x)?1,Pn（x)?0）

它的特征方程为r?1?0，由于这里??iw?1?2i不是特征方程的跟，所以应设特

解为

2(1)(2)y??ex(acos2x?bsin2x)

?x（a?2b)cos2x?ex(?2a?b)sin2x 求导得 y??e?x（-3a?4b)cos2x?ex（(-4a?3b)sin2x y???e代入所给方程得

4e（-a?b)cos2x?4e(a?b)sin2x?ecos2x 比较两端同类项的系数，有a??,b?于是求得一个特解为

xxx181, 81y??ex(?cos2x?sin2x)

8真题演练

一、 计算题

1．求下列微分方程的通解

（1）xy??ylny?0； （2）3x?5x?5y??0；

222 （3）1?xy??1?y； （4）y??xy??a(y?y?)

2（5）

dy ?10x?y； （6）(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0；

dxdy（7）?x3?0; （8）ydx?(x2?4x)dy?0。

dx2x?y2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y??e,yx?0?0 ;

x?0（2）cosxsinydy?cosysinxdx,y(3) y?sinx?ylny,y?x??4;

x??2?e;

(4) cosydx?(1?e)sinydy?0,y(5) xdy?2ydx?0,yx?2x?0??4;

?1.

3. 一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴见的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。 4．求下列微分方程的通解：

dy?y?e?x； （2）xy??y?x2?3x?2； dx?sinx（3）y??ycosx?e； （4）y??ytanx?sin2x；

（1）

15

（5）(x?1)y??2xy?cosx?0； （6）（7）

2d??3??2； d?dy ?2xy?4x； （8）ylnydx?(x?lny)dy?0；

dxdydy（9）(x?2)?y?2(x?2)3； （10）(y2?6x)?2y?0

dxdx5. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

dy?ytanx?secx,yx?0?0； dxdyysinx （2） ??,yx???1；

dxxx （1） （3） （4）

dy?ycotx?5ecosx,ydxx??2??4；

dy?3y?8,ydxx?0?2 。

6. 求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x，y）处的切线斜率等于2x?y。 7．用适当的变量代换将下列的方程化为可分离变量的方程，然后求出通解

dy1dy??1； ?(x?y)2； （2）

dxx?ydx（3）xy??y?y(lnx?lny)；

（1）

（4）y??y?2(sinx?1)y?sinx?2sinx?cosx?1； (5) y(xy?1)dx?x(1?xy?xy)dy?0. 8. 求下列微分方程的通解：

(1) y???x?sinx； （2）y????xe；

x222212； （4）y???1?y?； 21?x（5）y???y??x； （6）xy???y??0；

（3）y???（7）yy???2y??0 ； （8）yy???1?0； （9）y???2313； （10）y???(y?)?y?。 y?1,y??0； ??1； ?0；

9. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）yy???1?0,y（2）y???ay??0,y（3）y????e,y（4）y???e,y2yaxx?13x?1x?12x?0?0,y?x?1x?0?y??y??x?1x?0?y?x?0?0；

x?0（5）y???3y,y2x?0?1,y?x?0?2；

x?0（6）y???(y?)?1,y?0,y??0。

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