微分方程1

12xe?sinx?C, 21 y??e2x?cosx?Cx?C2 ，

41C y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3（C1?）

82 y???这就是所求的通解。

例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴做直线运动，设力F=F(t)在开始时刻t=0时F(0)= F0,随着时间t的增大，力均匀的减少，知道t=T时，F(T)=0,如果开始时刻质点位于原点，且初速度为零，求着质点的运动规律。

解：设x?x(t)表示时刻t时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为

d2x m?F(t) （3）

dt由题设，力F(t)随t增大均匀的减少，且t=0时F(0)= F0，所以F(t)?F0?kt；又当

t=T时，F(T)=0，从而

F(t)?F0(1?于是方程（3）可以写成

t) Td2xF0t （4） ?(1?)2dtmT其出示条件为

x把（4）式两端积分，得

t?0?0,dxdtt?0?0

dxF0t??(1?)dt， dtmTdxF0t2?(t?)?C1 （5）

dtm2Tdx将条件t?0?0代入（5）式，得

dt C1?0，

于是（5）式成为

dxF0t2?(t?) （6）

dtm2T把（6）式两端积分，得

F0t2t3x?(?)?C2,

m26T 将条件xt?0?0代入上式得

C2?0。 于是所求质点的运动规律为

9

F0t2t3 x?(?),0?t?T.

m26T(二)、y???f(x,y?)型的微分方程

方程

y???f(x,y?) （7）

的右端不显含未知函数，如果我们设y??p，那么 y???而方程（7）就成为

p??f(x,p) 这是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为

p??(x,C1)，

dp?p?， dxdy，因此又得到一个一阶微分方程， dxdy ??(x,C1)

dx但是p?对它进行积分，变得方程（7）的通解为

y??(x,C1)dx?C2 例3 求微分方程 (1?x)y???2xy? 满足初始条件 yx?0?2?1,y?x?0?3 的特解。

解：所给方程是y???f(x,y?) 型的，设y??p，代入方程分离变量后，有 两端积分，得

lnp?ln1?x?C, y??C1(1?x)(C1??e) 由条件 y?x?02c2dp2x?dx。 2p1?x?3，得

2 C1?3, 所以 y??3(1?x) 两端积分，得 y?x?3x?C2 又由条件yx?03?1，得

C2?1，

于是所求的特解为

y?x3X?3x?1y???p(x)y??Q(x)y?f(x)

五、高阶线性微分方程

10

（一）、二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为

y???p(x)y??Q(x)y?f(x)

若方程右端f(x)?0，方程成为齐次的，否则，则是非齐次的。

一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其各阶导数的幂次都是一次的，则它叫做n阶线性微分方程，简称n阶线性方程。

（二）、线性微分方程的解的结构

1．定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程

y???p(x)y??Q(x)y?f(x) （6）

(x)?的两个解，那么 y?C1y12．函数的线性相关与线性无关

定义：设y1(x),y2(x),?,yn(x)为定义在区I上的n个函数．如果存在n个不全 为零的常数k1,k2?,kn，使得当x?I时有恒等式

C)x6）的解，其中C1和C2是任意常数。 2y2(也是（

k1y1?k2y2??knyn?0

成立，那么称这个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关。

函数的线性相关与线性无关是互逆的概念。

课本明确给出了判断线性相关与线性无关的方法，即：只要看这两个函数的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关。对于两个以上函数的线性相关与线性无关的判断只需按线性相关、线性无关的定义，利用线性代数知识求解方程组，通过方程组解的情况来判定。齐次线性微分方程的解符合叠加原理，即解的线性组合仍为解；而非齐次线性微分方程的解的线性组合未必是解。

3．定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程（6）的两个线性无关的解，那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)其中C1和C2是任意常数， 就是方程（6）的通解。

值得注意的是，叠加起来的解从形式上看含有两个任意常数C1，C2，但它不一定是 原方程的通解。

4.推论 如果y1(x),y2(x),?,yn(x)是n阶齐次线性方程 y(n）?a1(x)y(n?1)??an?1y??an(x)y?0

的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为

y?C1y1(x)?C2y2(x)??Cnyn(x)， 其中C1,C2,?Cn为任意常数。

5．定理3 设y(x)是二阶非齐次线性方程

y???p(x)y??Q(x)y?f(x) （5） 的一个特解。Y(x)是与（5）对应的齐次方程（6）的通解，那么

y?Y(x)?y(x) （8） 是对应的齐次方程（5）的通解。

6 .定理4 设非齐次线性微分方程(5)的右端f(x)是两个函数之和，即

??y???p(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x) （9）

11

而y1(x)与y2(x)分别是方程

????Q(x)y(x)?y y???p??1f( )x与 y???p(x)y??Q(x)y?f2(x) 的特解，那么y1(x)?y2(x)就是原方程的特解。

该定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理．、

这一结论告诉我们：欲求方程y???p(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)的特解y(x)，

???p(x)y?可分别求y??Q()x?y1(f与)xy???p(x)y??Q(x)y?f2(x)的的特解

y1?(x)与y2?(x)，然后进行叠加。

六、常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程y???p(x)y??Q(x)y?0的解法 先求解对应的特征方程r?pr?q?0，其根记为r1,r2 (1) 如果r1，r2为两个不相等的实根，则原微分方程的通解为

2y?C1er1x?C2er2x (C1,C2为任意常数)；

(2)如果r1，r2为两个相等的实根且r1?r2?r，则原微分方程的通解为

（C1?C2x)e1 (C1,C2为任意常数)； y?(3)如果r1,2????为一对共轭复根，则原微分方程的通解为

rxy?e?x(C1cos?x?C2sin?x) (C1,C2为任意常数)。

关于二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构

如果能够求出二阶常系数齐次线性微分方程y???p(x)y??Q(x)y?0的两个特解

y?y1(x)

和y?y2(x)，且

y1(x)≠常数，则将它们分别乘以任意常数C1和C2再相加，就可以得到y2(x)原方程的通解y?C1y1(x)?C2y2(x)，其中，这两个特解y?y1(x)和y?y2(x)不论用什么方法求出来都可以，不一定非得要像一阶微分方程那样通过积分去求得，因此教材使用了特征根法．事实上，也不一定非得要使用特征根法去求得两个特解y?y1(x)和y?y2(x)，如试探法、待定系数法等也可以解决问题。关键是特征根法具有一定的系统性、规律性，相比较而言，特征根法比其它方法容易掌握和使用。 例1.

求微分方程y???2y??3y?0的通解

2解：所给微分方程的特征方程为

r?2r?3?0，

其根r1??1,r2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为 y?C1e例2.

?x?C2e3x

t?0d2sds?s?0满足初始条件s求方程2?2dtdt2?4,s?t?0??2的特解

解：所给微分方程的特征方程为 r?2r?1?0，

12