微分方程1

解： 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得

dy?2xdx， dxdy 两端积分 ??2xdx，

y?

得 lny?x?C1, 从而 y??ecx2?c12??ec1ex

x22因?e1是任意非零常数，又y?0也是方程（7）的解；故得方程（7）的通解 y?Ce 例3

放射性匀速轴由于不断的有原子放射出微粒子而变成其它元素，轴的含量就不断减少，这种现象就叫做衰变.由原子物理学知道，轴的衰变速度与当时未衰变的轴原子的含量M成正比。已知t=0时轴的含量为M0，求在衰变过程中轴含量M(t)随时间t变化的规律。

解：轴的衰变速度就是M(t)对时间t的导数故得微分方程

dM，由于轴的衰变速度与其含量成正比，dtdM???M, (8) dt其中?是常数，叫做衰变系数，?前置负号是由于当t增加时M单调减少，即故。

按题意，初始条件为Mt?0dM<0的缘dt?M0.

方程（8）是可分离变量的，分离变量后得

dM???dt MdM两端积分 ????dt

M?

以lnc表示任意常数，考虑到M>0，得

lnM??， ?t?lnc M?Ce

这就是方程（8）的通解，以初始条件代入上式，得 M0?Ce?C

0??tM0e??tF?ma?kv(t) M=mdv?mg?kv?edt?mgC?kk?t?kc1mv?mg?Cekk?t1m,

这就是所求轴的衰变规律，由此可见，轴的含量随时间的增加而按指数规律衰减 例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度呈正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）

速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。

5

解：设降落伞下落速度为v（t），降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用，重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为 F?mg?kv

根据牛顿第二定律 F?ma （其中a为加速度），得函数v(t)应满足的方程为

dv?mg?kv （9） dt按题意，初始条件为 vt?0?0

m方程（9）是可分离变量的，分离变量后得 两端积分 考虑到mg?kv?0，得 ?dvdt?，

mg?kvmdvdt??mg?kv?m，

1tln(mg?kv)??C1， kmk?t?kc1m，

即 mg?kv?ek?tmg 或 v?(1?em) （10）

k这就是方程（9）的通解。

将初始条件vt?0?0代入（10）后，得

?mg kk?tmgm(1?e) （11） 于是所求的特解为 ?k C?三 、一阶线性微分方程

1．一阶线性微分方程 形如

dy?P(x)y?Q(x)的微分方程叫做一阶线性微分方程。 dx2．一阶线性齐次微分方程 形如

dy?P(x)y?0的微分方程称为一阶线性齐次微分方程。 dx?P(x)dxdy解法：原方程可化为分离变量微分方程 ??P(x)dx，解得y?Ce?y3. 一阶线性非齐次微分方程

如果

dy?P(x)y?Q(x)，其中Q(x)不恒等于零，则称此微分方程为一阶线性dx?P(x)dxdy，然后?P(x)y?0，得通解y?Ce?dx非齐次微分方程。

解法：先求该方程对应的齐次方程

6

把C看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定C，使它能满足非齐次微分方程，

从而求得非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法．也可直接利用公式求解。 关于一阶线性微分方程

4.关于一阶线性微分方程

一阶线性微分方程是又一类特殊的一阶微分方程，其标准形式为

dy?P(x)y?Q(x) dxdy和y都是一次dx其特征是“一阶”和“线性”。所谓线性，指的是微分方程中关于

的，只要一个微分方程可以转化成这个标准形式，就把它归类到一阶线性微分方程中来．

由常数变易法，可求得一阶线性微分方程的通解为：

?P(x)dxP(x)dxy?Ce?(?Q（x)e?dx?C)

在这个通解公式中，式子“?P(x)dx”出现了两次，首先，这两个“?P(x)dx”后面不需要添加任意常数。一方面，在推导上述公式时，已经很明确“?P(x)dx”指的是函数P(x)的某一个原函数，而且当时的任意常数C在“?P(x)dx”的后面也已经有了具体的体；另一方面，如果这两个“?P(x)dx”后面添加了任意常数，那么上述公式中就有了三个或两个任意常数，与上述公式为一阶线性微分方程通解明显不符合。其次，这两个“?P(x)dx” 是同一个函数，这一结论从该公式的推导过程中也可以得出。

5dy2y例1 求方程??（x?1)2的通解

dxx?1 解：这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次线性方程的通解。

dy2y??0， dxx?1dy2dx ， ?yx?1

lny?2lnx?1?lnC1, y?C1(x?1)。 用常数变易法，把C1换成u，即令 y?u(x?1)， 那么

22dy?u?(x?1)2?2u(x?1)， （6） dx12。

代入所给非齐次线性方程 ，得 u??(x?1)32两端积分，得 u?(x?1)2?C

3 7

再把上式代入（6）式，即得所求的方程的通解为

3?2(x?21?) y?(x?1)?3?dy1例2 解方程 ?dxx?y2?C? ?解 若把所给方程变形为

dx?x?y， dy即为一阶线性方程 ，则按一阶线性方程的解法求得通解。 也可用变量代换来解所给方程：

dydu??1。代入原方程，得 dxdxdu1duu?1 。 ?1?,?dxudxu 令x?y?u,则y?u?x,分离变量后得

udu?dx， u?1 两端积分得 u?lnu?1?x?C

以 u?x?y代入上式，即得

y?lnx?y?1?C， 或 x?C1e?y?1(C1??e)

y?c四、可降阶的高阶微分方程（注：数二不做要求）

关于可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程的类型很多，课本中只是讲述了两类比较简单的高阶微分方程及其解法．求解这两类高阶微分方程的总体思路是：通过变量代换而降低微分方程的阶以达到求解的目的．从操作层面上看，求解的方式各有不同，但是其实质就是换元与降阶．从中还可看到，这两类高阶微分方程都是通过某种手段将其化为一阶微分方程之后而求得最终结果的，因此，一阶微分方程的解法是基础．

（一）、y(n)?f(x)型的微分方程

微分方程 y(n)?f(x) （2）

(n?1)的右端仅含有自变量x。容易看出，只要把y y同理可得 y例1 求微分方程 y????e(n?1)作为新的未知函数，那么（2）式就是新

的未知函数的一阶微分方程，就得到一个n-1阶的微分方程

??f(x)dx?C1。

(n?1)???f(x)dx?C1?dx?C2。

依此法继续进行，连积分n次，便得方程（2）的含有n个任意常数的通解。

2x?cosx 的通解

解： 对所给方程连积分三次，得

8