微分方程1

第七章 微分方程

新大纲透析

考生应按大纲的要求，熟练掌握各类方程的典型解法。如：对可分离变量的方程用分离变量法求解；对齐次微分方程首先用标准的变量代换把它转换为可分离变量的方程，然后再用分离变量法求解；学会运用公式法或常数变易法、积分因子求解一阶线性微分方程；要学会在搞清通解结构得基础上熟练掌握求对应齐次方程通解的特征方程和设定非齐次方程特解的系数。

考点详解

本考点要求熟练掌握微分方程的概念，结构以及求解解法.其中：

1、掌握微分方程的概念（微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解） 2、掌握可分离变量方程的解法。 3、掌握一阶线性方程的解法。

4、会用降阶法求解y?f(x),y???f(x,y?)型方程（数二不做要求）。 5、了解二阶线性微分方程解的结构。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7、掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为?（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数；?（x）=eax（Acosβx + Bsinβx），其中α、β、A、B为实常数）。

历年考题这部分有如下形式：计算题、证明题 计算题：求可分离变量方程、一阶线性方程、求解y和二阶线性微分方程；证明题：线性方程的通解。

微分方程

(n)(n)?f(x),y???f(x,y?)型方程

微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 高阶线性微分方程

常系数齐次线性微分方程 常系数非齐次线性微分方程

内容详析

一、微分方程的基本概念

微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数关系, 这在实践中具有十分重要的意义.

什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分方程的概念. 例1 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程.

解 设.所求曲线的方程为 y = y (x)

1

则

dydy?2x?2x （1） dxdx此外未知函数还应满足下列条件：

d2s x?1时，y?22??0.4 （2）

dt把1式两端积分，得y?2xdx即y?x?C （3） 其中C是任意常数

把条件“x?1时，y?2”代入（3）式，得

2?1?C

由此定出C=1，把C=1代入（3）式，即得所求曲线方程

y?x?1 （4） 例2

列车在平直线路上以20ms的速度行驶；当制动时列车获得加速度?0.4ms问开

22?2始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车在开始制动后t s时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数

s=s(t)应满足关系式

d2s ??0.4 （5）

dt2 此外，未知函数s=s（t）还应满足下列条件： t?0时，s=0,v= 把（5）式两端积分一次，得 v=再积分一次，得

s??0.2t?C1t?C2 (8) 这里C1 ,C2都是任意常数

把条件“t?0时，v=20”代入（7）式，得 20=C1； 把条件“t?0时，s=0”代入（8）式，得 0= C2 把C1，C2的值代入（7）及（8）式，得

V=-0.4 t +20， （9） s??0.2t?20t （10） 在（9）式中令v=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 T=50（s）

再把t=50代入（10）式中，得到列车在制动阶段行驶的路程

S=s??0.2?50?20?50?500(m)

1.上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的倒数，它们都是微分方程，一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做

22ds=20 （6） dtds??0.4t?C1 (7) dt2 2

微分方程，有时简称方程. 所谓微分方程，指的是表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程，至于方程中是否出现自变量、是否出现未知函数，都是无关紧要的，关键是要含有未知函数的导数或微分，否则，如果一个方程不含有未知函数的导数，也不含有未知函数的微分，那么多个方程就不是微分方程，而是一个代数方程．

2.微分方程中所出现的未知函数的最高阶倒数的阶数，叫做微分方程的阶。 3．微分方程的解

代人微分方程能使其两端成为恒等式的函数，称为微分方程的解。 4．微分方程的通解

如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，那么这样的解称为微分方程的通解．

所谓微分方程的通解，首先是微分方程的解，其次它所包含的独立的任意常数

的个数应等于该微分方程的阶数．这里所说的“独立的任意常数的个数”不是形式上的，而是实质性的，也就是说，任意常数的个数不能通过将通解恒等变形使之合并减少．否则，如果微分方程的解中没有任意常数，则这个解是微分方程的特解；如果微分方程的解中有任意常数，但是任意常数的个数少于该微分方程的阶数，则这个解既不是微分方程的通解，也不是微分方程的特解．因此，对于微分方程而言，不仅存在着特解和通解，

例如函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3是方程（1）的通解。 5．微分方程的特解

不含有任意常数的微分方程的解，称为微分方程的特解。 例如（4）式是方程（1）满足（2）的特解，（4）是（5）满足（6）的特解。 6．微分方程的初始条件

确定通解中任意常数的条件，称为微分方程的初始条件． 7．微分方程的初值问题

求微分方程满足初始条件特解的问题，称为微分方程的初值问题． 8．微分方程的积分曲线

微分方程的解所表示的曲线，称为微分方程的积分曲线．

例3 验证函数 x?C1coskt?C2sinkt （14）

d2x2是微分方程2?kx?0 （15）

dt的解。

解： 求出所给函数（14）的导数

dx??ksinkt?kC2coskt （16） dt

d2x22??kCcoskt?kC2sinkt 12dt2 ??k（C1coskt?C2sinkt）

d2x 把2及x的表达式代入方程（15），得

dt22?0 ?k（C1coskt?C2sinkt）+ k（C1coskt?C2sinkt） 3

函数（1）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。

例4 已知函数（14）当k?0时事微分方程(15)的通解，求满足初始条件 xt?0?A,dxdtt?0?0的特解。

解： 将条件“t=0时，x=A”代入（14）式得 C1?A

dx?0”代入（16）式，得 dt C2?0

将条件“t?0,把C1，C2的值代入（14）式，就得所求的特解为

x?Acoskt

二、 可分离变量的微分方程

1．分离变量微分方程

形如：g(y)dy?f(x)dx的微分方程，称为分离变量微分方程．其解法为对

g(y)dy?f(x)dx的两边同时积分，就可得到它的通解。

2．可分离变量微分方程

可化为分离变量微分方程形式的微分方程，称为可分离变量的微分方程． 可分离变量的微分方程的标准形式为

g(y)dy?f(x)dx

其特征是：方程右端函数为两个函数的乘积，其中一个函数只含自变量，另一个函数只含变量．但这并不是说，所有可分离变量的微分方程都直接是这种形式．事实上，只要一个微分方程可以转化成这种形式，就可把它归类到可分离变量的微分方程中来．

可分离变量微分方程的通解为：

dy?g(y) ?f(x)dx?c

根据不定积分的概念，上式两边有不定积分的符号就不必写出任意常数，因为不定积分符号中本身就隐含了任意常数，这里明确写出任意常数的目的在于使微分方程的通解

中明显地表示其所含的任意常数，也就能明显地识别出上式就是可分离变量方程的通

解．出于同样的目的，后面各微分方程的求解过程甚至通解都会沿用这一方式．

3.可分离变量的微分方程的解法：

第一步； 分离变量，将方程写成g(y)dy?f(x)dx的形式；

第二步； 两端积分：g(y)dy?f(x)dx，设积分后得G(y)?F(x)?c； 第三步； 求出由G(y)?F(x)?c所确定的隐函数y??(x)，它们都是方程的通解，其中G(y)?F(x)?c称为隐式(通)解． 例1 求微分方程的通解。

??dy?2xy （7） dx 4