2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第节变化率与导数导数的计算课时分层训练1

课时分层训练(十二) 变化率与导数、导数的计算

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( ) 【导学号：51062074】 A．2(x－a) C．3(x－a)

2

3

2

2

2

2

2

2

B．2(x＋a) D．3(x＋a)

3

2

2

2

2

22

C [∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)＝x－3ax＋2a，∴f′(x)＝3(x－a)．]

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )

A．－e C．1

B．－1 D．e

1

B [由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，

x∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]

3．曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是( ) A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0

xxB．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0

C [y′＝cos x＋e，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.] 4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2

B．1 D．3

1

.由导数的几何意义可得在点(0,0)x＋1

D [令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－

处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.]

5．已知f(x)＝x－2x＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )

A．4 C.

25

4

3

23

2

B．5 D.13 2

C [∵f(x)＝x－2x＋x＋6，

∴f′(x)＝3x－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0， 5

令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，

4

1

2

1525

∴所求面积S＝××10＝.]

244二、填空题

6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f(x)＝x－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________. 【导学号：51062075】

2x－y＋1＝0 [由题意得f′(x)＝3x－1，则f′(1)＝3×1－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]

7．若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

11

[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x2x1轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.] 2

8．如图2-10-1，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

2

2

2

3

图2-10-1

11

0 [由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－. 33又因为g(x)＝xf(x)，

所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

?1?由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.]

?3?

三、解答题

9．求下列函数的导数： (1)y＝x·tan x；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

2

ln2x＋1(3)y＝. 【导学号：51062076】

x[解] (1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′

?sin x?′＝tan x＋x·cosx＋sinx ＝tan x＋x·??2

cosx?cos x?

＝tan x＋2.5分

cosx(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x＋12x＋11.10分

(3)y′＝?

2

22

x?ln2x＋1?′＝[ln2x＋1]′x－x′ln2x＋1

?xx2??

2x＋1

2x－ln2x＋12x＋1＝2

＝＝

2x＋1′

·x－ln

2x＋1

x2x

2x－2x＋1ln2x＋1

.15分 2

2x＋1x132

10．已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

3(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

[解] (1)y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1，2分 5

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

3

2

2

?5?所以斜率最小的切线过点?2，?，4分 ?3?

斜率k＝－1，

11

所以切线方程为x＋y－＝0.9分

3(2)由(1)得k≥－1，12分

?π??3π，π?.15分

所以tan α≥－1，所以α∈?0，?∪??2??4??

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )

A．y＝sin x C．y＝e

xB．y＝ln x D．y＝x

3

3

A [若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.

对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；

111

对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2

xx1x2

＝－1；

对于C：y′＝e，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2； 对于D：y′＝3x，若有3x1·3x2＝－1，即9x1x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2. 综上所述，选A.]

2．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：51062077】

2

2

2

22

xy＝－2x－1 [因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)

1

＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即

xy＝－2x－1.]

2

3．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)

x在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

2a[解] 根据题意有f′(x)＝1＋2，g′(x)＝－.2分

xx曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3， 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a， 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.8分 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为

y－f(1)＝3(x－1)，

所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.12分 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为

y－g(1)＝3(x－1)，

所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线.15分

4