自动控制原理习题详解1

r(t)e(t)k(s?z1)(s?z2)(s?p1)(s?p2)(s?zq?1)(s?pq)c(t)

图3.62 习题3-22图

解：

（a）从参考输入到误差之间的传递函数为

?RE(s)?1??1k(s?z1)(s?z2)(s?p1)(s?p2)(s?zq?1)(s?pq)(s?pq)(s?zq?1)

(s?p1)(s?p2)(s?p1)(s?p2)(s?pq)?k(s?z1)(s?z2)系统在r(t)?tp1?p2?1(t的)参考输入下，1?n?q?1，稳态误差为零的条件为

?pn?0，同时闭环特征方程 (s?p1)(s?p2)(s?pq)?k(s?z1)(s?z2)(s?zq?1)?0

n?1的所有根都稳定。

3-23图3.63为扰动作用下控制系统的典型方框图。

f(t)r(t)Gc(s)G1(s)G2(s)c(t)n(t)

图3.63 习题3-23图

图中，G1(s)?B1(s)A1(s)、G2(s)?B2(s)A2(s)为被控对象固有的传递函数，F(s)为作用于其上的扰动，N(s)为作用于反馈通道的高频测量噪声。控制器Gc(s)?Bc(s)Ac(s)的设计保证系统是稳定的，试证明下面的事实：

（a）设R(s)?0，在典型扰动输入F(s)的作用下，稳态误差ess?0的充分必要条件是，多项式的积Ac(s)A1(s)B2(s)必须包含典型扰动输入F(s)的分母多项式作为它的一个因子。

（b）要使扰动F(s)作用下引起的动态误差e(t)小，控制器Gc(s)应该有足够大的增益。 解：

（a）设R(s)?N(s)?0，典型扰动输入F(s)作用下的误差为

E(s)??FE(s)F(s)??G2(s)F(s)1?Gc(s)G1(s)G2(s)Ac(s)A1(s)B2(s)F(s)Ac(s)A1(s)A2(s)?Bc(s)B1(s)B2(s)

F(s)为典型输入扰动，它的分母多项式的根全在原点或虚轴上，要稳态误差ess?0，多项式Ac(s)A1(s)B2(s)必须与F(s)的分母多项式相消。 （b）从E(s)的上述表达式容易看出，Gc(s)G1(s)G2(s)1时，E(s)与1Gc(s)G1(s)成比例，所以，要使扰动F(s)作用下的动态误差e(t)小，控制器Gc(s)就应该有足够大的增

益。

?Ts3-24图3.64所示为史密斯给出的预测控制方法，图中eG0(s)为有延时环节的被控对象。

?(s)。然后设计控制首先在被控对象无延时的假设下，根据G0(s)设计一个适当的控制器Gc器

Gc(s)??(s)Gc1?(1?e?Ts?(s))G0(s)Gc

如图中所示，它等于虚线框中的小闭环的传递函数。求系统的闭环传递函数，并对系统的性能进行分析。

r?(s)Gce?TsG0(s)c(1?e?Ts)G0(s)

图3.64 习题3-24图

解：系统的闭环传递函数为

?(s)G?TsceG0(s)?Ts?Ts?Gc(s)eG0(s)1?(1?e)Gc(s)G0(s)C(s)???(s)R(s)1?Gc(s)e?TsG0(s)Gc1?e?TsG0(s) ?Ts?1?(1?e)Gc(s)G0(s)?(s)G(s)G?Tsc0?e?(s)G(s)1?Gc0从系统的闭环传递函数可以看出，在被控对象的传递函数G0(s)及时间延迟准确已知的条件

下，按照上面给出的设计步骤得到的控制器，可以使闭环系统的稳定性与时间延迟环节无关。

第四章 习题解答

4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?K

s(s?10)试用解析法绘出增益K从0???变化时的闭环根轨迹，并用根轨迹的相角条件加以验证。 解：系统的闭环传递函数为

?(s)?特征方程的两个特征根为

K 2s?10s?Ks1,2??10?100?4k

2当K从0???变化时，s1,2的变化情况如下图所示。

K??K?50scj5K?25K?0?10sb?5sdsa0?5从上图4.2看出，当K从0到25变化时，闭环特征方程的根s1从0开始、s2从?10开始往

?5变化；当K?25时，出现一对重根s1,2??5；当K从25到?变化时，闭环特征方程的根为一对共轭复根，实部为?5，s1的虚部从零开始往正无穷大变化，s2的虚部从零开始往

负无穷大变化。

对于根轨迹上的检验点sa，有

??sa??(sa?10)??180?0??180

满足相角条件。同样对于根轨迹上的检验点sb、sc、sd点，也进行检验，同样满足相角条件。

4-2已知开环零极点分布如图4.42所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹。

jjj000j

j

j

000

图4.42 习题4-2图

解：概略绘出相应的闭环根轨迹如下图所示。

jj

j000j

j

j

000

4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数分别为

K

s(0.2s?1)(0.5s?1)K(s?1)（b）G(s)?

s(2s?1)K(s?5)（c）G(s)?

s(s?2)(s?3)（a）G(s)?试概略绘出相应的K从0???变化时的闭环根轨迹（要求确定分离点坐标）。

解：

（a）根轨迹共有3个分支，分别起始于开环极点p1?0，p2??2，p3??5，3个分支都终止于无穷远处。

终止于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角、与实轴的交点为

(2k?1)?(2k?1)???60,180,?60n?m3

p?z?j?i?0?(?2)?(?5)??2.33?a?n?m3由d?G(s)H(s)?ds?0，分离点坐标满足

?a?解方程得到s1,20.3s2?1.4s?1?0

??0.8804,?3.7863，?3.7863不在根轨迹上，故得分离点坐标为

d??0.8804。

系统临界稳定时K?7，K?7时的闭环特征方程为

0.1s3?0.7s2?s?7?(0.1s2?1)(s?7)?0

得根轨迹与虚轴的交点为?j10。

用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。 8642Imag Axis0-2-4-6-8-7-6-5-4-3-2Real Axis-1012（b）根轨迹共有2个分支，分别起始于开环极点p1?0，p2??0.5，1个分支终止于开环零点z1??1，另1个分支沿负实轴终止无穷远处。

根轨迹的复平面部分是一个圆，圆心位于开环零点z1??1，圆的半径为

(p1?z1)(p2?z1)?1?(?0.5?1)?0.707