自动控制原理习题详解1

s4s3s2s1s0得到方程组

0.51.51.5?2?0.5?(0.5K?1)5?0.5K?1.533?1.5K0.5K?1?5?0.5KK20.5K?11.5?K?0.5?0?K1.500K00 00?5?0.5K?0?3?3?1.5K?0.5K?1??0 ?5?0.5K??K?0??即有

?K?10???11.708?K?1.708 ?K?0?的到解0?K?1.708为所求。

3-4系统如图3.53所示，试用劳斯稳定判据确定系统稳定时?的取值范围。

r111?1?ss10s(s?1)c?s

图3.53 习题3-4图

解：系统的闭环传递函数为

10s?1s(s?1)s?110s1?10?sC(s)10s?10s(s?1)ss(s?1)?10?s???3 210s?110R(s)s?(1?10?)s??10s?101?s?1s(s?1)ss(s?1)?10?s1?s1?10?ss(s?1)系统的特征方程为

s3?(1?10?)s2??10s?10?0

根据胡尔维茨判据，系统稳定的条件为

?1?10??0?a1a31?10?10 ?????(1?10?)?10?10?0?2aa11002?得到??0即为所求。

3-5系统如图3.54所示，试应用劳斯判据确定系统稳定时比例-积分控制器增益kp、ki的取值范围，并给出图示。

rkp?kis1(s?1)(s?2)c

图3.54 习题3-5图

解：系统闭环传递函数为

kps?kikps?kiC(s) ??32R(s)s(s?1)(s?2)?kps?kis?3s?(2?kp)s?ki特征方程为

s3?3s2?(2?kp)s?ki?0

根据胡尔维茨判据，系统稳定的条件为

?ki?0?a1????2a0?即

ki a33??3(2?kp)?ki?0a212?kp??ki?0 ?k?0.33k?2?i?pkp、ki的取值范围如下图所示，为斜线0.33ki?2?0上方与kp轴所夹区域。

kp32100.33ki?2?0369ki

3-6质量弹簧系统如图3.55所示，图中k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的摩擦系数，m为质量块的质量，F(t)为外力，以F(t)?0时重力作用下质量块的平衡位置为位移y的原点。 （a）设在单位阶跃外力作用下，质量块的稳态位移为0.1，系统的无阻尼自然振荡频率?n?10，阻尼比??0.5，求系统参数m、k、f。

（b）求阶跃输入下系统的动态响应指标tr、tp、ts（按5%误差计算）和?%。

kF(t)m0f y 图3.55 习题3-6图

解：

（a）根据牛顿力学第二定律有

dy(t)d2y(t)F(t)?f?ky(t)?m

dtdt2得系统的输入输出微分方程描述为

d2y(t)fdy(t)k1??y(t)?F(t) dt2mdtmm传递函数描述为

1Y(s)m ?F(s)s2?fs?kmm2令2??n?fm，?n?km，得?n?km，??f2mk。单位阶跃（1牛顿力）

??输入下，质量块稳态下的位移是1k（米）。由此得到k?10，m?0.1，f?1。 （b）阶跃输入下系统的动态响应指标

tr?tp?ts???arccos??n1????n1??3.52???arccos0.5101?0.52?0.242(s)2??101?0.52?0.36(s)

??n??3.5?0.7(s)0.5?102??1???%?e??0.51?0.52?100%?e?100%?16%

3-7设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。 解：系统的闭环传递函数为

0.4s?1

s(s?0.6)0.4s?10.4s?1s?2.5s(s?0.6)?(s)??2?0.42

0.4s?1s?s?1s?s?11?s(s?0.6)根据带零点二阶系统阶跃响应性能指标的计算公式，有?n?1，??0.5，?d?32，

??arccos??60??3(rad)l?2?tr?2，

??arctg34?23.4?0.4084(rad)，

?32?2?2.18。

????????3?0.4084??1.95(s)

?d0.866?????0.4084tr???3.16(s)

?d0.866l??%?ez?(???)1??22.18??100%?e2.50.5(??0.4084)1?0.52?100%?18%

1?l?1?2.18?ts?3.5?ln?3.5?ln????6.73(s) ?0.5???n?z2.5????

?1.2tsin(1.6t?53.1?)试求系统的超调3-8已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)?10?12.5e量?%，峰值时间tp和调节时间ts。 解：将

h(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.1?)

与标准二阶系统的阶跃响应表达式

??e???nth(t)?k?1?sin(?dt??)?

21??????相比较有??53.1?0.927(rad)，?d?1.6，??cos??cos53.1?0.6，?n?2，k?10。于是有

?????0.927??1.38(s)?d1.6??tp???1.96(s)?d1.6tr?ts?3.5??n??3.5?2.92(s)0.6?22

??1???%?e???0.61?0.62?100%?e?100%?9.5%

3-9已知控制系统的单位阶跃响应为

h(t)?1?0.2e?60t?1.2e?10t

试确定系统的阻尼比?和自然振荡频率?n。 解：取阶跃响应的拉氏变换得到