2013-2014学年高二数学双基达标：1.3.1 组合与组合数公式(苏教版选修2-3)

1.3 组合

第1课时 组合与组合数公式

双基达标 ?限时15分钟?

1．给出下面几个问题，其中是组合问题的为________． ①由1,2,3,4构成的2个元素集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法． 答案 ①②

2．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．

22

解析 分三类：一年级比赛的场数是C5，二年级比赛的场数是C8，三年级比2222赛的场数是C3，再由分类计数原理求得总赛场数为C5＋C8＋C3＝41.

答案 41

43．若A3m＝6Cm，则m＝________.

解析 由排列组合数公式得

m?m－1??m－2??m－3?m(m－1)(m－2)＝6·，

4×3×2×1解得m＝7. 答案 7

4．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合 ，则一共可以组成集合的个数为________．

111111解析 由C4·C3＋C3·C2＋C4·C2＝26.

答案 26

5．高矮互不相同的5位同学排成一排照相，要求从正中间向两侧均是从高到矮，不同的排法种数为________．

2

解析 最高排中间，有C4＝6(种)．

答案 6

6．要从12人中选出5人参加一项活动，其中A、B、C 3人至多2人入选，有多少种不同选法？ 解 法一 可分三类：

①A，B，C三人均不入选，有C59种选法；

4②A，B，C三人中选一人，有C1C9种选法； 3·3③A，B，C三人中选二人，有C2C9种选法． 3·

51423由分类计数加法原理，共有选法C9＋C3·C9＋C3·C9＝756(种)．

法二 先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有

5选法C12－C29＝756(种)．

综合提高 ?限时30分钟?

7．以下四个式子①Cmn＝

n＋1Amnm－1mm＋1m＋1m＋1

；②Am＝nA；③C÷C＝；④C＝nn－1nnn＋1m！n－mm＋1

Cmn.其中正确的个数是________． 解析 ①式显然成立；

m－1

②式中AmAn所－1＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，m－1以Amn＝nAn－1，故②式成立；

对于③式

Am?m＋1?！m＋1Cmn·nmm＋1

Cn÷Cn＝m＋1＝， m＋1＝Cnm！·Ann－m

故③式成立；

m＋1m

A?n＋1?·Ann＋1m＋1

对于④式Cn＋1＝＝

?m＋1?！?m＋1?m！

＝

n＋1m

C，故④式成立． m＋1n

答案 4

8．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种类是________(用数字作答)．

解析 由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本

245

2元的共C3C8种方法；第二类是买5本2元的书，共C8种方法．

245

∴共有C3C8＋C8＝266(种)．

答案 266

9．2012年元旦某班有n个人中每两个人相互之间打了一次问候电话，共打电话28次，则n＝________.

2解析 Cn＝

n?n－1?

2＝28，解得n＝8.

答案 8

10．210的正约数有________个．

解析 由于210＝2×3×5×7，则2、3、5、7中的任意一个数，或两个数之积，或三个数之积，或四个数之积，都是210的约数．又1也是一个约数，

1234

所以约数共有C4＋C4＋C4＋C4＋1＝16(个)．

答案 16

－4n－2n－111．求不等式Cn21

解 原不等式可化为

21！21！

<

?n－4?！?25－n?！?n－2?！?23－n?！21！

<，整理得 ?n－1?！?22－n?！

??24－n??25－n?>?n－2??n－3?，? 23－n>n－1，?

解得n<12.又n－4≥0， 所以4≤n<12，又n∈N，

故原不等式解集为{4,5,6,7,8,9,10,11}．

12．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？

解 我们把从共线的4个点取点中的多少作为分类的标准：

21第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C4·C8＝48(个)不

同的三角形；

12第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C4·C8＝112(个)

不同的三角形；

3第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C8＝56(个)不同的

三角形．

由分类计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．

13．(创新拓展)在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查． (1)共有多少种不同的抽法？

(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？

(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？

解 (1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，

3

共有C100＝

100×99×98

＝161 700(种)．

3×2×1

(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：

1

第一步，从2件次品中任取1件，有C2种方法； 2第二步，从98件正品中任取2件，有C98种方法．

根据分步计数原理，不同的抽取方法共有

12C2·C98＝2×

98×97

＝9 506(种)． 2×1

(3)法一 抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：

12

第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C2C98种； 21第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C2C98种．

根据分类计数原理，不同的抽法共有

12C2·C98＋C2C12·98＝9 506＋98＝9 604(种)．

3法二 从100件产品中任取3件的抽法，有C100种，其中抽出的3件中没有3次品的抽法，有C98种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有3C100－C398＝9 604(种)．

(4)完成题目中的事，可以分成两步：

12第一步，选取产品，有C2C98种方法；

第二步，选出的3个产品排列，有A33种方法． 根据分步计数原理，不同的排列法共有

123C2C98A3＝57 036(种)．