高考数学大一轮复习5.3等比数列课时作业理

＝

1?n1??1?n??1－???1－????2?2??2??11－2

＋

11－2

3＝3－n. 2

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是( ) A．若a3>0，则a2 013<0 B．若a4>0，则a2 014<0 C．若a3>0，则S2 013>0 D．若a4>0，则S2 014>0 解析：若a3>0，则a2 013＝a3q2 010

>0；若a4>0，则a2 014＝a4q2 010

>0，故A，B错；当a3>0，>0，C正确．故选C.

a3a12 013

则a1＝2>0，因为1－q与1－q同号，所以S2 013＝

q答案：C 2．函数y＝1－

－q1－q2 013

x＋

2

图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下

不可能成为公比的数是( )

3A. 2C.3 3

1B. 2D.3

解析：因为y＝1－x＋

2

?(x＋2)＋y＝1(y≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为圆

2

2

心，1为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，12313

故≤q≤3，即≤q≤3，而<，选B. 3323

答案：B

1

3．在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正

2整数n的值为________．

12

解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q)＝3可得q＝2，

2于是an＝2

n－6

，

－21－2

n132

则a1＋a2＋…＋an＝

＝2

n－5

－

1. 32

5

1

∵a5＝，q＝2，

2

∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a6＝1.

176

∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝2－>a1a2…a11a12＝a12＝2成立；当n取

32186713

13时，a1＋a2＋…＋a13＝2－13时，随着n增大a1

32＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.

答案：12

4．(2014·天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1

2

，xi∈M，i＝1,2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A； (2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anq1,2，…，n.证明：若an

解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·2，xi∈M，i＝1,2,3}． 可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anq＝1,2，…，n及an

可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)q≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q＝

n－2

n－2

n－1

2

n－1

，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1

，其中ai，bi∈M，i＝

，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1

，ai，bi∈M，i＋(an－bn)qn－1

－qn－1

q－－q1－qn－1

－qn－1

＝－1<0.

所以，s

6