计算方法复习题

一、判断

1、x=-0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为5位。（ × ）

2、迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。（ × ）

3、牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。（ √ ） 4、已知观察值(xi,yi)(i=0,1,n)*，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n次。（ × ）

5、改进欧拉公式是一种隐式的方法。（ × ）

6、一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 （ √ ） 6、求方程x-x-1=0在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 （ × ）

?3?3???1?1521??2??5??37、矩阵是主对角占优矩阵。 （ × ）

8、在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 （ × ） 9、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。 ( × ） 二、填空题

1、误差来源： 舍入误差 ， 截断误差 ， 观测误差 ， 模型误差 。 2、古代数学家祖冲之曾以

355113作为圆周率π的近似值，此近似值有 7 位有效数字。

，进行二步二分后根所在区间为 。

。

3、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0，1]内的根，进行一步二分后根所在区间为 4、方程求根中牛顿迭代公式

-2x1+6x2+0.7x3=0

x1+2x2+3.5x3=0

，收敛速度是

5、求线性解方程组 5x1-3x2-0.1x3=1

的高斯—赛德尔迭代格式为

1x2（1）= -0.24， x3（1）= 35。

，取迭代初值x1（0）=1，x2（0）=-1，x3（0）=1，则x1（1）= -0.38 ，

6、Gauss求积公式?baf(x)dx≈

?Anf(x)nn?0N具有 2N+1 次代数精度。

7、n+1个插值节点构造的拉格朗日插值公式Ln(x)= 1 余项Rn(x)= 1 。

8、插值节点过多整体逼近效果很差，越靠近端点逼近的效果就越差，这种现象称为 龙格 现象。可以采用 分段插值 思想替代高

次多项式去逼近f(x)。

9、已知方程f(x)=0，则迭代函数x=φ(x)对任意x∈[a，b]有a≤φ(x)≤b，且存在L<1,使对任意x∈[a，b]，有|φ`(x)|≤L<1，则迭代过程xk+1=φ(xk)对于任意x0∈[a，b]均收敛于方程x=φ(x)的根x*。 10、已知n=3，则三次插值基函数l2(x)=_

__

11、求积公式的代数精度以 Gauss 求积公式为最高，具有 2N+1 次代数精度，其节点称为 Gauss 点。 三、证明题

1、证明梯形求积公式具有一次代数精度。

2、已知x??(x)在[a，b]内有一根x*，?(x)在[a,b]上一阶可微，且?x?[a,b],??(x)?3?1，试构造一个局部收敛于x*的迭代公式。

解：方程x??(x)等价于x?0.5[?(x)?3x]

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构造迭代公式xk?1??0.5[?(xk)?3xk] 令?(x)??0.5[?(x)?3x]

由于?(x)在[a,b]上也一阶可微 [?0.5?(x(?)x?3?)]?'0.x5?(?)?3 0.51 故上述迭代公式是有局部收敛性. 四、计算题

?123??x1、用三角分解法解??252??1????14???5???x2????18? ?31???x3???20????123???01?4??x1??14?????24???x???2??18?? ?100??y1????14?y2??18? y=（14，?00???210??x3????20????3?51????y???-10，-72）? ?3????20???123???01?4? x=（1，2，3）? ??0024????2、给定数据表： Xi 1 2 4 6 Yi 4 1 0 1

完成差商表，得出牛顿插值公式N3（x），并写出插商表Nij的规律。 i Xi Yi f（x0，xi） f（x0，x1，xi） f（x0，x1，x2，x3） 0 1 4 1 2 1 -3 2 4 0 -15 2 3 6 1 12 2 ?32 Nij=f(x0)+f(x0,x)(x-x0)+.....+f(x0,x1,.....xn?1,xn)(x-x0)...(x-xn?1)

N3（x）=4-3(x-1)+5(x-1)(x-2)-3/2(x-1)(x-2)(x-4) Sh(4)≈N3(4)=1

3、设A= 3 2 ，X=（2，-3），计算||A||2和||x||?的值。 -2 1 A????3?2??3?2??32??134??21??,A?A???21?????21?????45???E?A?A????0?4????4

?0??????13?45???13?4??5????13????5????4???4??0???9?42???B??9?42A2?9?42n||x||??max1?i?n?aij?2?3?5

j?1224、3.141和7作为π的近似值，绝对误差限分别是多少？有效数字位数分别为几位？

1e1=|π-3.141|=0.0005926<0.005=2×10?2 有效位数为3

221e2=|π-7|=0.001264486<0.005=2×10?2 有效位数为3

5、用列主元消去法解下列方程组。

??3?14????12?2??x1???7?x?????2?32?1???2??????x3????0??

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?3?1AD?????12??2?34?2?2????3?147??3?3?147????4????05?2?12?2?1?AD???????333???0??2?3?20????71414??0?????0333?????37????1???0?0????0??17?30?1537?342314?3??7??4?3?14???3??17?353414?32?3?7??3??14????03????04??3?414?3?47?14???3??2??解得

???2,1,0.5???五、程序设计、分析题?3?147?? ?3?47?1?、已知下面算法是用于求常微分方程的算法??71414?1??71414? double f(double x,double y) ?0??3?3?3????0?3?3?3??{return ?524??00??03 y-2*x/y;} ?33??4?2???main( )

{int n=10,i;

double a=0,b=1,x,h,k1,k2; double y[10];

scanf(“%f”,&y[0]); x=a,h=(b-a)/n,s=0; for(i=0;i<=n-1;i++) {k1=h*f(x,y[i]);

k2=h*f(x+h,y[i]+k1); y[i+1]=y[i]+(k1+k2)/2; x=x+h;}

for(i=0;i<=n;i++)

{printf(“x[%d]=%f,y[%d]=%f.”,i,x,i,y[i]); x=x+h;} }

这个算法的名字是什么？ Runge-kutta(龙格库塔)方法 算法的公式是什么？

算法的相容阶是多少？ 二阶

2、用复合梯形公式求积分 1）请写出复合梯形求积公式。

x12）编程实现

?21ln(x?1)dx（取步长

h?6），注：不用求结果。

int f(double x)

{ return x*1.0/ln(x+1); //题目函数 } int main(){

int i,n=6; //步长1/6,故执行6次 double x1,x2,y,h,t,a,b; a=1.0; b=2.0; h=1.0/6;

t=0.0; //初始化a,b为区间,h为步长，t为积分 for(i=0;i

x2=f(a+h); //确定区间两点高度 y=(x1+x2)*h/2; //计算积分 t+=y; //积分连加 } printf(\ return 0; }

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