2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)-真题试卷

当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大（数值是估值，不唯一）； （4）方法一： MN＝2BM，即y＝2x， 在上图中作直线y＝2x，

直线与曲线交点的横坐标1.33和4 故答案为：1.33或4． 方法二：

如图3，DN与CA的延长线交于点H．

设BM＝x，MN＝2x EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x

∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质） ∠NDB＝∠MDB+∠NDM ∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C ∴△MDB∽△DHC ∴∴

＝

，CH＝

，HA＝HC﹣AC＝

﹣6

又∵△HAN∽△DEN ∴

＝

∴＝

3x3﹣16x+16＝0 解得x1＝4，x2＝． 故答案为：1.33或4．

【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难

点于，弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据． 27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】

如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE． 我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下：

【模型应用】

如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO?GB．

【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC可证得∠DAE+∠BAC＝90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证． （2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GO?GB联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG＝∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝∠BOC．把DO延长交BC于点H后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝∠BOC．只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝∠BOC，故问题继续转化

为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，即能求AD＝AB＝

．又因为O为AB中点，可得到

，再加上第（1）

题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证． 【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆 ∴O为斜边AB中点，AB为直径 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC+∠BAC＝90° ∵∠DAE＝∠ABC ∴∠DAE+∠BAC＝90°

∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90° ∴AD⊥AB ∴AD是⊙O的切线

（2）延长DO交BC于点H，连接OC ∵DE⊥AC于点E ∴∠DEA＝90°

∵AB绕点A旋转得到AD ∴AB＝AD

在△DEA与△ACB中

∴△DEA≌△ACB（AAS） ∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1 ∴AD＝AB＝∵O为AB中点 ∴AO＝AB＝∴

∵∠DAO＝∠AED＝90° ∴△DAO∽△AED ∴∠ADO＝∠EAD ∴DO∥EA

∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC ∵OB＝OC

∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC ∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC ∴∠FOG＝∠BFG ∵∠FGO＝∠BGF ∴△FGO∽△BGF ∴

∴FG2＝GO?GB

【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键． 28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；

（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；