核反应堆物理分析习题答案第四章

103?5NAN8??4.79?10?28m?3

M5103?8NAN8??4.81?10?28m?3

M8v?f,5v?f,5k????2.115?a,5?a,5L25?B2?L8?R?13?a,5?f,5?1.31?10?3m2k??1?29.17m?12L513?a,5?f,5?0.1043m

arccot(?1/BL8)?/2?arctan(1/BL8)??0.06474mBB4m??5V5??5??R3?21.3kg38.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率

?(r,z?)?AJ1(x1r?z)sin?cos() RHx?2Bg?(1)2?()2

RH 其中：x1?3.89是J1(x1)的第一个零点，即。

证明：（1）书上图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，

几何曲率与材料曲率相等）：

?2?1??1?2??2?2?????Bg?,(0?r?R,0????,?H/2?Z?H/2) 2222?rr?rr???z 边界条件（不考虑外推距离）：i. ??r?R???r?0?0

II. III.

????0???????0 ??z?H/2???z??H/2?0

(注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：

如果a则对于任?i(t)(i?1,2,???,n),f(t)都是区间?a,b?上的连续函数，

(0)(1)(2)(n?1)一t0?(a,b)及任意的x0,x0,x0,???x0,方程：

x(n)?a1x(n)?????an?1x??anx?f(t)

存在唯一解

x??(t)

定义于区间?a,b?上，且满足初值条件x 而此扩散方程并非线性微分方程。） 对于表达式：?(r,z,?)?AJ1((k)(k)(t0)?x0(k?0,???,n?1),

x1r?z)sin?cos(),x1?3.89 RH 不难证明其满足上述全部三个边界条件。(J1(0)?J1(3.89)?0)

（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件：

???nJn?xJn?1,J0???J1 xJn?? 可推得：J1

?J1?xJ0 x?J1?xJ01J0?J1?xJ0J0J1J02????J?xJ?J???J???(?1)J???10011x2xx2xxx2x2xxrJ1(1)xrxrR?x1J(x1r) J1?(1)?J1?(1)???0RRrRRJ1??????x1r??2J()?0?x1rx1r??x1rx1??2x1r2?x1rx1rx1r??2??RJ1??()?J1???()??????1?J1()???()J()?J()?0???2?1Rx1r??RRR??rR?RR?R???(x1r)2???R???R2所以：

?2?x1?2????2????J1(x1r)?x1rJ0(x1r)r?R??RRR2????r ?x1r?J1()R1??xrxxr?J1(1)?1J0(1)r?r?RRrR

xr?J1(1)R1?2?x1r1J()r2??2??r21R

xr?J1(1)R2所以：

??1??1?????r2r?rr2??2?22?x12?x1rx1rx1r?2?()J()?J()?102??rRRRR??xrJ1(1)R2J1(x1rxr)J1(1)R?x1rJ(x1r)?R022rRRr??(x1r2)R??????cos(?z)??2?FH?z?????()2 再有：

?z?Hcos()H2?x????2所以方程为：??1??????Bg

?R??H?可知该表达式为方程的解。证毕。

（也可如此推出解的形式：分离变量：?(r,?,z)??(r)Q(?)Z(z)

22d2?1d?d2Qd2Z?2rdr?1d?2?dz2??B2 方程变形：drg?r2QZd2Qd2Z22d???n2（n为任意实数） 设：，dz??Bz2； QZd2?1d??22n2d?2222d?22drrdr?2??Bg?Bz??Br?r?r?(B?n)??0 r2?rdrdrd2?d?22?x?(x?n)??0 变量替换：x?Brr,Br??(x)???(r),x2dxdx 此为nBessel阶方程，通解为

?Jn(x)?Jn(Brr) ?(r)????Y(x)Y(Bx)?n?nr 由边界条件i可得,n须取使Jn(0)?0的值，在其中，我们只去基波，即n?1，相

2应的BrR?x1：

?(r)?J1(x1r/R)

相应的： Q(?)?A?sin??C?sin?

由边界条件ii可得： C??0,Q(?)?A?sin?

对于z有： Z(z)?Azsin(Bzz)?Czcos(Bzz)

由边界条件ii可得， Az?0,Bz??/H,Z(z)?Czcos(?z/H)

所以: ??AJ1(x1r/R)sin?cos(?z/H)

10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求： （1）使临界体积为最小的R/H的值；

2 （2）最小临界体积V与Bm的关系。

2 解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：Bg?(?H)2?(2.4052) R 可得，在临界条件下：R?22.40522Bg?(?

H2.4052?H32 临界体积：V??RH?22 2BgH??dV 其取最小值时: ?0,即：

dH2.4052??3H22.4052?H33?222222 ??2BH?0?3(BH??)?2BH?H?ggg22BgH2??2(BgH2??2)2Bg?R?2g2)22.4052B??223?2/Bg2.4052?32.4053 ??R?22BgBg2 所以：?R?22.405?0.5412 2?22.405233?2.405233?2?? （2）由上可得临界最小体积：V??RH? 23Bg2BgBg2223 由于临界条件下：Bg?Bm，所以：V?148.4/Bm

11.设有意纯239Pu(??14.4?10kg/m)组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数： v?2.19,?f?1.85b,?r?0.26b,?tr?6.8b计算其临界半径与临界质量。

33103?NA?3.64?1028m?3 解：由已知条件可得：N?Mv?fv?f k????1.92

?a?f??r L2?D11???1.77?10?3m2 ?a3?a?tr3N?trN(?f??r)222 设临界半径为R，则临界条件：Bg?Bm，可得：

k??1?2L2????R??0.138m ???2Lk??1?H? 对于这一实际问题，需要考虑外推距离：d?0.7104?tr?0.7104?0.0288m N?tr4?(R?d)3?5.40?10?3m3 3 临界质量：m??V?77.8kg

所以实际临界体积为：V?12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数:

（1）半径为R的球形堆，反射层节省为?T；

（2）半径为R，高度为H的圆柱形堆，反射层节省分别为?r和?H； （3）边长为a,b,c的长方形堆，反射层节省分别为?x,?y,?z。 解：可利用裸堆的结论，球：

KH,bare?4?R3/3sin(r)4?r2dr0R?2R3?KH?()

3R??T?R??3.27

圆柱：KH,bare??R2H?2/H?2/Hcos(?Hz)dz?R02.405J0(r)2?rdrR?3.62

?KH?3.62( 立方体： KH,bare?R2H)() R??rH?2?Habccos(x)dx?cos(y)dy?cos(z)dz?a/2?b/2?c/2abc?3aaa ?KH?()()()

8a?2?xa?2?ya?2?z 详细推导：据97页4-1裸堆的通解形式可得：

?a/2?b/2?c/2???38?3.88