2017高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性

答案:

??x＋1>0

1.解析：由?知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．

?x－1>0?

答案：C

1

2.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝，故选B.

2答案：B

3.解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.

答案：0

11

4.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，

f?x?f?x＋2?11

∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.

5f?1?1

答案：－

5考点一

2??x－1≥0，

解：(1)由?得x＝±1， 2

?1－x≥0，?

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

?3?

(2)∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为?2?，不关于坐标原点对称，

??

∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为R，

∴f(－x)＝3x－3x＝－(3x－3x)＝－f(x)，

－

－

所以f(x)为奇函数．

2

??4－x≥0，

(4)∵由?得－2≤x≤2且x≠0.

?|x＋3|－3≠0，?

∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x24－x24－x2∴f(x)＝＝＝，

x|x＋3|－3?x＋3?－3∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋

x，

则当x<0时，－x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．

[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， ∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1. 1

解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，

f?x?

∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期． ∴f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，

1

f(－2 015)＝f(2 015)＝f(3)＝－＝－1，

f?1?∴f(－2 015)＋f(2 017)＝0. 答案：0

1.解析：由题意得f(x)＝xln(x＋a＋x2)＝f(－x)＝－xln(a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1

，解得a＝1.

a＋x2－x答案：1

2.解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－

1

，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋1＋x21

∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x

1＋x21

－1|，解得

3

答案：A

3.解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， 2a－3

∵f(1)<1，f(5)＝，

a＋1∴

2a－3a－4

<1，即<0，解得－1

答案：A

4.解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

∴f(－1)

2x＋sin x【典例】 [解析] 易知f(x)＝1＋2.

x＋12x＋sin x

设g(x)＝f(x)－1＝2，

x＋1则g(x)是奇函数．

∵f(x)的最大值为M，最小值为m， ∴g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1， ∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2. [答案] 2

解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx， 令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)为奇函数， ∴F(－x)＋F(x)＝0.

∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0. ∴f(2)＝－26.

答案：A

1.解析：f(x)在R上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0?/ f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.

答案：A

1－x1＋x1－x2.解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－

1＋x1－x1＋x1??－1?－1＝0，所以f?1?＋f?－1?＝2. (f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f?－1＋f?2??2??2??2?答案：A

5??1??1?1

－＋3＝f－＝4×?－?2－23.解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f?＝f?2??2??2??2?＝－1，故选D.

答案：D

4.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.

答案：A

5.解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，

∴f(－1)＝0，

从而有函数f(x)的图象如图所示： 则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为 {x|－1

6.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)＝f(2)＝1.

答案：1

7.解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1. 答案：－1

8.解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，由③知f(x)在[1,3]上是减函数．所以f(2 015)＝f(3)，f(2 016)＝f(0)＝f(2)，f(2 017)＝f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)．

答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015) 9．解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，