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(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案

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  • 2025/7/5 22:36:17

∵OC⊥AB,AB=8, ∴AD=4, ∵DC=2, ∴OD=OC-2, ∵OA=OC,

∵OA?AD?OD,

OA?4??OA?2?,

222222解得OA=5。

2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时,连接圆心与这些中点,是常用的辅助线的作法。 【针对训练】

如图,半径为6cm的⊙O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。

思路分析:作三角形DBF的轴对称图形,得到三角形AGE,三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。

答案:解:如图,作△DBF的轴对称图形△HAG,作AM⊥CG,ON⊥CE, ∵△DBF的轴对称图形△HAG,

由于C、D为直径AB的三等分点,则H与点C重合

5

∴△ACG≌△BDF, ∴∠ACG=∠BDF=60°, ∵∠ECB=60°, ∴G、C、E三点共线, ∵AM⊥CG,ON⊥CE, ∴AM∥ON, ∴

AMON?ACOC?21, 在Rt△ONC中,∠OCN=60°, ∴ON=sin∠OCN?OC=32?OC, ∵OC=13OA=2,∴ON=3,

∴AM=23, ∵ON⊥GE,

∴NE=GN=12GE,

连接OE,

在Rt△ONE中,NE=OE2?ON2=62?(3)2=33,∴GE=2NE=233,

∴S=11△AGE2GE?AM=2×233×23=611,

∴图中两个阴影部分的面积为611,故答案为611。

6

技巧点拨:本题考查了平行线的性质,垂径定理,勾股定理的应用。

垂径定理练习题

1. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是( )

A. OE=BE

B. BC?BD

D. 四边形ODBC是菱形

??C. △BOC是等边三角形

2. 温州是著名的水乡,河流遍布整个城市,某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图),已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为46m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为( )

A. 46m B. 7m

C. 5+6m D. 6 m

4*3. 在△ABC中,AB=AC=5,sinB=,⊙O过B、C两点,且⊙O半径r=10,则OA

5的长为( )

A. 3或5 B. 5 C. 4或5 D. 4

**4. 如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42,则a的值是( )

7

A. 4

B. 3+2 C. 32 D. 3+3

**5. 如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 。

**6. 如图,⊙O的半径是4,△ABC是⊙O的内接三角形,过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线,垂足为E、F、G,连接EF,若OG=1,则EF为 。

*7. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图)。 (1)求证:AC=BD;

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长。

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∵OC⊥AB,AB=8, ∴AD=4, ∵DC=2, ∴OD=OC-2, ∵OA=OC, ∵OA?AD?OD, OA?4??OA?2?, 222222解得OA=5。 2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时,连接圆心与这些中点,是常用的辅助线的作法。 【针对训练】 如图,半径为6cm的⊙O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。 思路分析:作三角形DBF的轴对称图形,得到三角形AGE,三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。 答案:解:如图,作△DBF的轴对称图形△HAG,作AM⊥CG,ON⊥CE, ∵△DBF的轴对称图形△HA

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