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(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案

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  • 2025/7/5 20:44:54

中考数学人教版专题复习:垂径定理

一、考点突破

1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。 2. 应用垂径定理解决问题。

二、重难点提示

重点:理解垂径定理与推论的关系。 难点:应用知识解决实际问题。

考点精讲垂径定理及其推论

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素,知二推三。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

1

如果AB∥CD,则AC=BD。

【要点诠释】如果直径平分的弦是直径,则会出现如图所示的情况,直径不一定垂直弦。

??

典例精析

例题1 已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( )

A. 25cm

B. 45cm

D. 23cm或43cm C. 25cm或45cm

思路分析:先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论。 答案:解:连接AC,AO,

∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,

11∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,

22当C点位置如图1所示时, ∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB, ∴OM=OA2?AM2=52?42=3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm,

∴AC=AM2?CM2=42?82=45cm;

2

当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm, ∵OC=5cm, ∴MC=5-3=2cm,

在Rt△AMC中,AC=AM2?MC2=42?22=25cm, 故选C。

技巧点拨:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。

例题2 如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )

A.

2 B. 1 C. 2 D. 22

思路分析:作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点,即为PA+PB的值最小时的点,根据外角知识求出∠AON=60°,然后求出∠BON=30°,再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°,然后求出∠AOB′=90°,从而判断出△AOB′是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=2OA,即为PA+PB的最小值。

答案:解:作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′, 则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′, ∵∠AMN=30°,∠AMN=∠A,

3

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°, ∵点B为劣弧AN的中点, ∴∠BON=

11∠AON=×60°=30°, 22由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°, ∴△AOB′是等腰直角三角形, ∴AB′=2OA=2×1=2, 即PA+PB的最小值=2。 故选A。

技巧点拨:本题考查了轴对称确定最短路线问题,在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角

等于圆周角的2倍的性质,作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。 提分宝典

1. 与垂径定理有关的计算中,连接半径构建直角三角形,利用勾股定理求解是常用的方法。

例题 如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,若AB=8,CD=2,求半径的长。

答案:解:连接OA,

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中考数学人教版专题复习:垂径定理 一、考点突破 1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。 2. 应用垂径定理解决问题。 二、重难点提示 重点:理解垂径定理与推论的关系。 难点:应用知识解决实际问题。 考点精讲垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素,知二推三。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 1 如果

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