(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案

中考数学人教版专题复习：垂径定理

一、考点突破

1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。 2. 应用垂径定理解决问题。

二、重难点提示

重点：理解垂径定理与推论的关系。 难点：应用知识解决实际问题。

考点精讲垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

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如果AB∥CD，则AC=BD。

【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。

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典例精析

例题1 已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）

A. 25cm

B. 45cm

D. 23cm或43cm C. 25cm或45cm

思路分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。 答案：解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，

11∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，

22当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM＝OA2?AM2＝52?42＝3cm， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8cm，

∴AC＝AM2?CM2＝42?82＝45cm；

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当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5－3＝2cm，

在Rt△AMC中，AC＝AM2?MC2＝42?22＝25cm， 故选C。

技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

例题2 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（ ）

A.

2 B. 1 C. 2 D. 22

思路分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点，即为PA＋PB的值最小时的点，根据外角知识求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝2OA，即为PA＋PB的最小值。

答案：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA＋PB的最小时的点，PA＋PB的最小值＝AB′， ∵∠AMN＝30°，∠AMN＝∠A，

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∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON＝

11∠AON＝×60°＝30°， 22由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，

∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′＝2OA＝2×1＝2， 即PA＋PB的最小值＝2。 故选A。

技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角

等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。 提分宝典

1. 与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方法。

例题 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，CD＝2，求半径的长。

答案：解：连接OA，

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