平面向量的概念及其线性运算

→→→→→→21

∴AC＝OC－OA＝－3a＋3b，AB＝OB－OA＝tb－a. →→

要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB. 21

即－3a＋3b＝λ(tb－a)＝λtb－λa. 又∵a与b为不共线的非零向量， 2－??3＝－λ，∴有?1

??3＝λt

2

λ＝??3，??1

t＝??2.

1

∴当t＝2时，三向量终点在同一直线上．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，

→1?1→1→

动点P满足OP＝3?OA＋OB＋

2?2

→?

2OC?，则点P一定为三角形ABC的( )．

A．AB边中线的中点

B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点

→1→→1→1→→1→

解析 设AB的中点为M，则2OA＋2OB＝OM，∴OP＝3(OM＋2OC)＝3OM＋→→→→→2→

3OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P

是CM上靠近C点的一个三等分点． 答案 B

→→

2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO＝x AB＋→

(1－x)AC，则实数x的取值范围是( )． A．(－∞，0) C．(－1,0)

B．(0，＋∞) D．(0,1)

→→→→→→→→→

解析 设BO＝λ BC(λ＞1)，则AO＝AB＋BO＝AB＋λ BC＝(1－λ)AB＋λ AC，→→→→→→→

又AO＝x AB＋(1－x)AC，所以x AB＋(1－x)AC＝(1－λ)AB＋λ AC.所以λ＝1－x＞ 1，得x＜0. 答案 A 二、填空题

→→→→→

3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．

→→→→→→→→→

解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC， →→→→→→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形 三、解答题

→

4. 在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，→→AC＝b，试用a，b表示AG.

→→→→→解 AG＝AB＋BG＝AB＋λBE

→λ→→?λ?→λ→→＝AB＋2(BA＋BC)＝?1－2?AB＋2(AC－AB)

??→λ→λ

＝(1－λ)AB＋2AC＝(1－λ)a＋2b.

→→→→→→m→→又AG＝AC＋CG＝AC＋m CF＝AC＋2(CA＋CB) →m→m

＝(1－m)AC＋2AB＝2a＋(1－m)b， m1－λ＝??2，∴?λ

1－m＝??2，

→121

解得λ＝m＝3，∴AG＝3a＋3b.