人教版高中数学必修5-3.2《一元二次不等式及其解法》教学设计

3.2 一元二次不等式及其解法

(名师:向鑫)

一、教学目标

【核心素养】

通过学习一元二次不等式的解法，提升学生的数学运算和逻辑推理能力. 【学习目标】

（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； （2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； （3）会解一元二次不等式. 【学习重点】

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 【学习难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.

二、教学设计

（一）课前设计 预习任务

任务：预习教材P76—P80,完成P80相应练习题 预习自测

1.不等式?x?1??2?x??0的解集是（ ） A.?x1?x?2? B.?xx?1或x?2? C.?x1?x?2? D.?xx?1或x?2?答案：A 解析：略

2.不等式6x2?5x?4的解集为（ ）

4??1??A.???,???,???

3??2???41?B.??,? ?32?1??4??C.???,???,???

2??3???14?D.??,? ?23?答案：B 解析：略 （二）课堂设计 1.知识回顾

（1）一元二次方程的方程的解法. （2）二次函数的性质.

（3）我们预习本课的一元二次不等式的解法？ 2.问题探究

问题探究一 一元二次不等式的含义 1.什么是一元二次不等式？

阅读与思考：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室.现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？ 分析：设与墙平行的栅栏长度为x（0?x?20） 则依题意得：x?20?x?42，整理得：x2?20x?84?0. 2想一想：（1）该式子是等式还是不等式？ （2）该式中含有几个未知数？ （3）未知数的最高次数是几次？

定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

写一写：请写出5个不同的一元二次不等式.

抽象与归纳：用字母代替数，抽象一元二次不等式的一般形式.

①ax2?bx?c?0?a?0?；②ax2?bx?c?0?a?0?；③ax2?bx?c?0?a?0?；④

ax2?bx?c?0?a?0?.

2.一元二次不等式的解集与三个二次的关系？ （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 观察与思考：

（1）一元二次不等式x2?20x?84?0左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？

一元二次方程x2?20x?84?0；二次函数y?x2?20x?84 容易知道：二次方程的有两个实数根：x1?6,x2?14 二次函数有两个零点：x1?6,x2?14

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.

（2）一元二次不等式x2?20x?84?0的解集与一元二次方程x2?20x?84?0的根，与一元二次函数y?x2?20x?84的图象，有怎样的关系？

一元二次不等式x2?20x?84?0的解集，就是二次函数y?x2?20x?84的图象在

y?0部分点的横坐标x的集合.

抽象与归纳：一般地，一元二次不等式ax2?bx?c?0?a?0?的解集，就是二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象在y?0部分的点的横坐标x的集合.一元二次

不等式ax2?bx?c?0?a?0?的解集，就是二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象在y?0部分的点的横坐标x的集合.一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的解集，就是二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象在y?0的点的横坐标x的集合. 可得下表： 二次函数 ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 b x1?x2??2a ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集

x1,x2(x1?x2) 无实根 ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a??R ?xx1?x?x2? ? ? 例1：解不等式?3x2?6x?2. 【知识点：一元二次不等式的解法】

【解析】两边都乘以－1，并移项，得3x2?6x?2?0. 因为Δ＞0，方程3x2?6x?2?0的解是x1?1?33,x2?1?. 3333

所以，原不等式的解集是{x|1－3＜x＜1＋3}.

点拔：解一元二次不等式直接用图解法处理，解题过程中的二次函数图像可画出草稿纸上.

11

例2：已知ax2?2x?c?0的解集为{x|－3