高三数学第二轮专题复习系列(9)-- 直线和平面

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P解：（1）连AC,BD交于点O，连PO， 则PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角， ∴ tan∠PAO=

6。 23。 2DECAB设AB=1，则PO=AO?tan∠PAO =

设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，?PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt?PFO中，tan?PFO?∴ ?PFO?PO?3， FO?3。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为

? 31 PD。

?2（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//∴?EOD就是异面直线PD与AE所成的角。 在Rt?PDO中，PD?OD2?PO2?∴ EO?5。 4H5。 2P由AO?BD，AO?PO可知：AO?面PBD。 所以，AO?EO。 在Rt?AOE中，tan?AEO?AO210。 ?EO5DFOABCGKE210∴异面直线PD与AE所成的角为arctan。 5（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：面PFO?面PBC。 延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接EH,GH。 ∵ 四棱锥P?ABCD为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点， ∴ BC?PG，BC?FG。

∴ BC?面PFG。∴ 面PBC⊥面PFG。 ∵ PF?PG，?PFO??3，∴ ?PFG为正三角形。

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∴ FH?PG，∴ FH?面PBC。

取AF中点为K，连EK，则由HE//FK及HE?FK得四边形HEKF为平行四边形，所以，KE//FH。

∴KE?面PBC。

【例16】 RtΔABC中，AC=BC=1，∠BCA=90°，现将ΔABC沿着平面ABC的法向量平移到ΔA1B1C1位置，已知AA1=2，分别取A1B1、A1A的中点P、Q， （1）求BQ的长； （2）求证：AB1⊥C1P；

（3）求cos＜BQ，CB1＞，cos＜BA1，CB1＞，

并比较＜BQ，CB1＞与＜BA1，CB1＞的大小.

解：以C为原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz， （1）∵BQ=（1，-1，1）， ∴ | BQ | =12?(?1)2?12?3 （2）∵AB1=（-1，1，3），C1P=（∴AB1·C1P=（-1）×∴AB1⊥C1P， 即AB1⊥C1P

（3）CB1=（0，1，2），AB1=（1，-1，2）， cos＜BQ，CB1＞=BQ?CB1BQ?CB130 10A1C111，，0） 22 11+1×+2×0=0， 22?13?5?15， 15同理，cos＜BA1，CB1＞=

1530π∵0＜＜＜1，＜BQ，CB1＞，＜BA1，CB1＞∈（0，）

15102B1∴＜BQ，CB1＞＞＜BA1，CB1＞

CA1B1C1中，【例17】 如图：直三棱柱AB?EADC新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：http://www.xjktyg.com/wxc 第46页（共66页） B高中数学高考第二轮专题复习系列 王新敞 源头学子小屋 http://wxc.833200.com

AC?BC?AA1?2，?ACB?90?。E为BB1的中点，D点在AB上且DE?3.

（Ⅰ）求证：CD?面A1ABB1； （Ⅱ）求二面角C?A1E?D的大小.

解：1）证：依题意知AB1?23，DE?1AB1 且 2E为BB1的中点，则 D也为AB中点

∴CD?AB

又∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱 ∴CD?A1A

又 AA1?AB?A 且 AA1、AB?平面A1ABB1 故 CD?面A1ABB1.

2）解：由1）知CD?面A1ABB1，在?ADE中过D作DF?A1E交AE于F， 连CF，由三垂线定理有?DFC为所求二面角得平面角 易知CD?2，在?A1DE中，A1D?6，DE?3，A1E?3

A1D?DE?2 AECD?DF22?1

故?A1DE?90? DF?在Rt?CDE中 tan?DFC?故所求二面角的大小为

?. 4D【例18】 如图，在多面体ABCDE中，AE?面

ABC，BD∥AE，且AC?AB?BC?BD?2，

AE?1，F为CD中点．

（1）求证：EF?面BCD； （2）求多面体ABCDE的体积；

ACEFB（3）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解：（1）取BC中点G，连FG，AG． ∵AE?面ABC，BD∥AE，∴BD?面ABC， 又AG?面ABC，∴BD?AG，又AC?AB，

G是BC中点，

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∴AG?BC，∴AG?平面BCD，∵F是CD的中点且BD?2， ∴FG∥BD且FG?1BD?1，∴FG∥AE， 2又AE?1，∴AE?FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF∥AG， ∴EF?面BCD．

（2）设AB中点为H，则由AC?AB?BC?2可得CH?AB且CH?3，

又∵BD∥AE，∴BD与AE共面，又AE?面ABC，故平面ABDE?平面

ABC，

∴CH?平面ABDE，即CH为四棱锥C?ABDE的高． 故VC?ABDE?SABDE·CH??[(1?2)?2]?3?3．

（3）过C作CK?DE于K,连接KH,由三垂线定理的逆定理得KH?DE, ∴?HKC为二面角C?DE?B的平面角.

131312D易知EC?由S?BCE?5,DE?5,CD?22,

11?(22)?3??5?CK, 22GEFACHGBCH102可得CK?,?30,在Rt?CHK中, sin?HKC?CK456故cos?HKC?,

46∴面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．

4

【空间的角练习】

一、选择题

1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )

A.

? 6 B.

? 4 C.

? 3 D.

? 22．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA= ∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为( )

A.30° 二、填空题

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B.45° C.60° D.75°